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Satz von Heine-Borel

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Der Satz von Heine-Borel, auch Überdeckungssatz genannt, von den Mathematikern Eduard Heine und Émile Borel aufgestellt, ist ein Satz der Topologie metrischer Räume.

Er zeigt die Äquivalenz zweier Definitionen der Kompaktheit.

Für eine Teilmenge M des Rⁿ (den metrischen Raum aller reellen n-Tupel mit der euklidischen Metrik) sind die folgenden beiden Aussagen äquivalent:

M ist beschränkt und abgeschlossen.
Jede offene Überdeckung von M enthält eine endliche Teilüberdeckung.

Dieser Satz lässt sich speziell auf Teilmengen der Menge der reellen Zahlen R anwenden.

Dies gilt auch für andere, aber nicht für alle metrischen Räume. Ein Gegenbeispiel ist R^∞. In diesem metrischen Raum gilt für die abgeschlossene Kugel mit dem Radius 1 R^∞ Aussage 1, aber nicht Aussage 2. Für allgemeine metrische Räume gilt allerdings, dass die kompakten Mengen diejenigen sind, die vollständig und totalbeschränkt sind.