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Satz von Gauß-Bonnet
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Der Satz von Gauß-Bonnet (nach Carl Friedrich Gauß und Pierre Ossian Bonnet) ist eine wichtige Aussage über Flächen, die ihre Geometrie mit ihrer Topologie verbindet, indem eine Beziehung zwischen Krümmung und Euler-Charakteristik hergestellt wird. Dieser Satz wurde unabhängig von beiden Mathematikern gefunden. Man beachte, dass auch französische Geometer ihn mit dem Namen von Gauß und Bonnet bezeichnen.
Inhaltsverzeichnis |
Definitionen und Satz
Sei M eine kompakte und orientierbare 2-dimensionale riemannsche Mannigfaltigkeit mit Rand 
. Bezeichne mit K die Gaußkrümmung in den Punkten von M und mit kg die geodätische Krümmung der Randkurve . Dann gilt
wobei χ(M) die Euler-Charakteristik von M ist.
Der Satz kann im Besonderen auf Mannigfaltigkeiten ohne Rand angewendet werden. Dann fällt der Term
weg.
Erklärung des Satzes
Verzerrt man die Mannigfaltigkeit, so bleibt ihre Euler-Charakteristik unverändert, im Gegensatz zur Gaußkrümmung an den einzelnen Punkten. Der Satz sagt aus, dass das Integral über die Krümmung, also die Gesamtkrümmung, unverändert bleibt.
Beispiele
Die runde Sphäre M = S2 mit Radius 1 hat in jedem Punkt Gauß-Krümmung 1. Das Integral über die Gauß-Krümmung entspricht also ihrer Fläche, 4π. Andererseits ist die Euler-Charakteristik 2, da man die Sphäre als Verklebung von zwei (runden) Flächen entlang einer Kante mit einer Ecke bekommt (also 2-1+1=2).
Verallgemeinerungen
Der Satz lässt sich auf n Dimensionen verallgemeinern. Man kann ihn ebenfalls auf simpliziale Flächen verallgemeinern, wobei man den Winkeldefekt einer Ecke als diskrete Gausskrümmung definiert.
