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Satz von Banach-Steinhaus

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Der Satz von Banach-Steinhaus ist eines der fundamentalen Ergebnisse der Funktionalanalysis und bildet zusammen mit dem Satz von Hahn-Banach und dem Offenheitssatz einen der Eckpfeiler des Gebiets. Er besagt in seiner Grundform, dass für eine Familie stetiger, linearer Operatoren auf einem Banachraum punktweise Beschränktheit äquivalent zu Beschränktheit ist.

Hugo Steinhaus und Stefan Banach veröffentlichten den Satz 1927. Er wurde jedoch unabhängig davon auch von Hans Hahn bewiesen.

Inhaltsverzeichnis

Satz von Banach-Steinhaus

Sei X ein Banachraum, N ein normierter Vektorraum und F eine Familie stetiger, linearer Operatoren von X nach N.

Dann gilt:

\sup \left\{\,||T_\alpha (x)|| : T_\alpha \in F \,\right\} < \infty \quad \forall x \in X


\Rightarrow\ \sup \left\{\, ||T_\alpha|| : T_\alpha \in F \;\right\} < \infty.

Beweis

Unter Verwendung des Baire'schen Kategoriensatzes:

Für n = 1,2,3, ... sei Xn = { x : ||T(x)|| ≤ n (∀ T ∈ F) } . Nach Annahme ist die Vereinigung aller Xn gleich X.
Da X von 2. Baire-Kategorie ist, hat eines der Xn einen inneren Punkt, d. h. es gibt ein δ > 0 und ein y in X, sodass ||x - y|| < δ ⇒ x ∈ Xn.
Für jedes x mit ||x|| ≤ δ gilt: ||T(x)|| ≤ ||T(y - x)|| + ||T(y)|| ≤ n + n = 2n.
Also für alle T ∈ F, ||T|| < 2n/δ, sodass 2n/δ eine gleichmäßige Schranke für die Menge F ist.

Verallgemeinerung

Die allgemeine Form des Satzes gilt für einen gefassten Raum:

X sei ein gefasster Raum, Y ein lokal konvexer Raum. Dann gilt: Jede Familie punktweise beschränkter, stetiger, linearer Operatoren von X nach Y ist gleichgradig stetig (sogar gleichmäßig gleichgradig stetig).


Dabei werden folgende Definitionen verwendet:

Eine Teilmenge S eines topologischen Vektorraums heißt gefasst , falls sie konvex, balanciert (d. h. \alpha S \subseteq S\ \forall \alpha mit \left| \alpha \right|=1), absorbierend (d. h. \forall x\ \exists r \ \forall \alpha \in \mathbb{F} : \vert \alpha \vert \ge r \Rightarrow x \in \alpha S) und abgeschlossen ist.

Ein topologischer Vektorraum heißt gefasst, falls jede gefasste Menge eine Umgebung des Nullvektors ist.

Literatur

Wikipedia
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