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Satz von Arzelà-Ascoli

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Der Satz von Arzelà-Ascoli, benannt nach Cesare Arzelà (1847-1912) in Erweiterung eines Satzes von Giulio Ascoli (1843-1896), ist ein wichtiger Satz in der Funktionalanalysis. Er lautet:

Sei X ein kompakter metrischer Raum, Y ein vollständiger normierter Raum und F\subseteq C_b(X,Y) eine Menge stetiger beschränkter Abbildungen X\to Y. Dann gilt: F ist genau dann relativ kompakt in Cb(X,Y), wenn F gleichgradig stetig ist, und für jedes x\in X die Menge \{f(x):f\in F\} relativ kompakt in Y ist.

Beweisskizze

Der Beweis benutzt das cantorsche Diagonalverfahren, in welchem auf rekursive Art partiell konvergente Teilfolgen konstruiert werden, um dann quer durch alle Teilfolgen eine überall konvergente Teilfolge zu erhalten.

Sei \{f_n\}_{n\in\N}\subset F eine beliebige Funktionenfolge in der Funktionenfamilie F. Zu zeigen ist, dass diese eine in Cb(X,Y) konvergente Teilfolge enthält.

Dazu wählt man sich eine aufsteigende Folge von endlichen Teilmengen A_N\subset A_{N+1}\subset X, welche gegen eine in der kompakten Menge X dichte Teilmenge A_\infty:=\bigcup_{N=1}^\infty A_N „konvergiert“. Die Funktionenfolge, eingeschränkt auf eine solche Teilmenge \{f_n{}_{|A_k}\}_{n\in\N}, enthält nach Voraussetzung eine auf Ak konvergente Teilfolge, denn ein endliches kartesisches Produkt relativ kompakter Mengen ist wieder relativ kompakt.

Sei f0,k = fk die nullte, triviale Teilfolge. Dann kann rekursiv, beginnend mit N=1,2,..., in \{f_{N-1,k}\}_{k\in\N} eine Teilfolge \{f_{N,k}\}_{k\in\N} ausgewählt werden, die auf AN konvergiert. Dann konvergiert nach dem Cantorschen Diagonal„trick“, die Diagonalfolge \{f_{N,N}\}_{N\in\N} auf der dichten Teilmenge A_\infty\subset X gegen eine Funktion f:A_\infty\to Y.

Aus der gleichgradigen Stetigkeit folgt, dass die so erhaltene Grenzfunktion auf ganz X stetig und beschränkt fortgesetzt werden kann zu \bar f:X\to Y und es folgt ebenfalls, dass die Diagonalfolge auch in der Supremumsnorm gegen die so konstruierte Funktion konvergiert: \lim_{N\to\infty} f_{N,N}=\bar f in Cb(X,Y).

Literatur

  • Johann Cigler, Hans-Christian Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung. ISBN 3411051213
  • Harry Poppe: Compactness in General Function Spaces, Berlin 1974
  • René Bartsch: On a nice embedding and the Ascoli-theorem, New Zeal. J. of Math. , Vol.33, No. 1, 25-39 (2004) preprint als pdf
Von „http://www.kefk.org/wiki/Satz_von_Arzel%C3%A0-Ascoli“
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