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Ein Satz ist in der Mathematik und in der Logik eine neue Erkenntnis, die ausgehend von Axiomen, Definitionen und bereits bekannten Sätzen formuliert wird. Damit die Aussage eines Satzes anerkannt wird, muss sie bewiesen werden. Strenggenommen handelt es sich dabei um eine durch die klassische Prädikatenlogik legitimierte Folge von Schlussfolgerungen. Alternative Logiken wie etwa in der konstruktiven Mathematik spielen in der Mathematik eine untergeordnete Rolle.

Normalerweise werden Sätze nach ihrer Bedeutsamkeit in eine Hierarchie eingegliedert, die aufsteigend geordnet so aussieht:

1. Lemma (Hilfssatz im Beweis eines wichtigeren Satzes)
2. Korollar (Sammlung von Feststellungen oder Folgerungen, die sich aus einem Satz oder einer Definition ohne großen Aufwand ergeben. Oft auch Schlussfolgerung)
3. Proposition (logische Aussage)
4. Satz oder auch Theorem (Lehr- und Grundsatz. Theorem ist ein veraltender Ausdruck, im Englischen sowie im Russischen oder bei seit langem bekannten Sätzen aber noch gebräuchlich.)

Inhaltsverzeichnis 1 Aufbau 1.1 Formulierung 1.1.1 Beispiele 1.2 Umkehrsatz 1.2.1 Beispiele 1.2.2 Abhängigkeit von der Aufteilung in Voraussetzung und Aussage 2 Quellen 3 Siehe auch

Aufbau

Formulierung

Obschon ein mathematischer Satz aus einer Aussage beliebiger Form bestehen kann (Beispiel: „Nicht V oder A.“), wird ein mathematischer Satz meist in die im Konjunktiv I (Jussiv) formulierte Voraussetzung und die als Aussagesatz formulierte Aussage gegliedert (Beispiel: „Sei V. Es gilt, A.“), so dass der Eindruck einer Implikation entsteht.

Besonders im östlichen, deutsch-sprachigen Raum^[1] findet sich die folgende Struktur: „Unter der Voraussetzung V gilt die Behauptung(sic!) B.“ Cave: Missverständnis durch die irreführende Verwendung des Wortes „Behauptung“ ist wahrscheinlich.

Cave: Fehlschlüsse können entstehen durch das unüberlegte Herauslösen und Anwenden einzelner Teile eines Satzes, da die im Allgemeinen keine Gültigkeit haben müssen.

Beispiele

1. „“
2. „Sei n eine Primzahl. Für n gilt: “
3. „Wenn es regnet, dann wird die Straße nass.“ (kein Satz im mathematischen Sinne)
4. Aus der ebenen Geometrie: „Wenn ein Viereck ein Parallelogramm ist, dann haben gegenüberliegende Seiten die gleiche Länge.“

Umkehrsatz

Vertauscht man in einem Satz Voraussetzung und Aussage des Satzes, erhält man den zugehörigen Umkehrsatz. Das sind logische Aussagen der Form „Voraussetzung ⇐ Aussage“. Es sind dann folgende Fälle zu unterscheiden:

• Wenn der Umkehrsatz kein Satz -also falsch- ist, dann ist die Voraussetzung des Satzes hinreichend, aber nicht notwendig.
• Wenn der Umkehrsatz ein Satz -also zutreffend- ist, dann ist die Voraussetzung des Satzes notwendig und hinreichend. In diesem Fall kann man einen weiteren Satz formulieren, in dem Voraussetzung und Aussage des Satzes äquivalent sind (Beispiel: „V gilt, genau dann wenn A gilt“).

Beispiele

1. „Wenn die Straße nass ist, dann hat es geregnet.“ Dieser Umkehrsatz ist falsch, denn das Wasser könnte auch anders auf die Straße gekommen sein. Die Voraussetzung des Satzes „es hat geregnet“ ist somit hinreichend, aber nicht notwendig.
2. „Wenn in einem Viereck gegenüberliegende Seiten die gleiche Länge haben, dann ist es ein Parallelogramm.“ Dieser Umkehrsatz ist wahr. Die Voraussetzung des Satzes ist notwendig und hinreichend. Man kann Satz und Umkehrsatz zusammenfassen: „Ein Viereck ist ein Parallelogramm genau dann, wenn die gegenüberliegenden Seiten die gleiche Länge haben.“

Abhängigkeit von der Aufteilung in Voraussetzung und Aussage

Es ist möglich, dieselbe logische Aussage auf verschiedene Weisen in Voraussetzung und Aussage aufzuteilen, und der Umkehrsatz hängt von dieser Aufteilung ab.

Die logische Aussage lässt sich zum Beispiel auf die folgenden Weisen als Satz aufschreiben:

1. − Umkehrsatz:
2. – Umkehrsatz:

Ersichtlich gilt im Allgemeinen nicht, dass die beiden Umkehrsätze äquivalent sind.

Quellen

1. ↑ Informations-Seite der Universität Erlangen: Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik

Siehe auch

• Liste mathematischer Sätze
• Liste physikalischer Sätze

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