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Helmholtz-Theorem

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(Weitergeleitet von Sätze von Helmholtz)

Das Helmholtz-Theorem (auch Helmholtz-Zerlegung, nach Hermann von Helmholtz) ist ein mathematischer Satz, der hauptsächlich in der Physik Anwendung findet.

Er besagt, dass es möglich ist, ein (fast) beliebiges Vektorfeld $\mathbf{f}(\mathbf{r})$ als eine Superposition eines rotationsfreien Feldes $\mathbf{a}(\mathbf{r})$ und eines divergenzfreien Feldes $\mathbf{b}(\mathbf{r})$ darzustellen. Ein rotationsfreies Feld lässt sich jedoch wiederum durch ein skalares Potential $\phi(\mathbf{r})$ darstellen, ein divergenzfreies Feld durch ein Vektorpotential $\mathbf{A}(\mathbf{r})$ .

$\mathbf{a}(\mathbf{r}) = -\operatorname{grad}(\phi(\mathbf{r}))$

und

$\mathbf{b}(\mathbf{r}) = \operatorname{rot}(\mathbf{A}(\mathbf{r}))$

dann folgt

$\operatorname{rot}(\mathbf{a}(\mathbf{r})) = -\operatorname{rot}(\operatorname{grad}(\phi(\mathbf{r})))\equiv 0$

und

$\operatorname{div}(\mathbf{b}(\mathbf{r})) = \operatorname{div}(\operatorname{rot}(\mathbf{A}(\mathbf{r})))\equiv 0$

Es ist also möglich das Vektorfeld $\mathbf{f}(\mathbf{r})$ durch die Potentiale $\phi(\mathbf{r})$ und $\mathbf{A}(\mathbf{r})$ auszudrücken (das Helmholtz-Theorem).

$\mathbf{f}(\mathbf{r}) = -\operatorname{grad}(\phi(\mathbf{r})) + \operatorname{rot}(\mathbf{A}(\mathbf{r}))$

Die Potentiale lassen sich durch die folgenden Integrale aus dem Feld $\mathbf{f}(\mathbf{r})$ gewinnen:

$\phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi}\int_V \frac{\operatorname{div}(\mathbf{f}(\mathbf{r}'))}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\mathrm{d}^3r'$

$\mathbf{A}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi}\int_V \frac{\operatorname{rot}(\mathbf{f}(\mathbf{r}'))}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} \mathrm{d}^3r'$

Wobei $V$ das die Felder enthaltende Volumen ist.

Die mathematische Voraussetzung für die Anwendung des Helmholtzschen Theorems ist neben der Differenzierbarkeit des Vektorfelds $\mathbf{f}(\mathbf{r})$ , dass es für $r \to \infty$ schneller als $\frac{1}{r}$ gegen $0$ geht, also $\lim_{r \to \infty} \mathbf{f}(\mathbf{r}) r = 0$ . Ansonsten divergieren die obigen Integrale, lassen sich also nicht mehr berechnen.

Dieses Theorem ist besonders in der Elektrodynamik von Interesse, da sich mit seiner Hilfe die Maxwell-Gleichungen im Potentialbild schreiben und einfacher lösen lassen. Für alle physikalisch relevanten Probleme sind dabei die mathematischen Voraussetzungen erfüllt.

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