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Drehmatrix

Aus Kefk.

Eine Drehmatrix oder Rotationsmatrix ist in der Mathematik eine Matrix, die eine Drehung im euklidischen Raum beschreibt.

Die Drehung kann entweder ein Objekt (eine Figur, einen Körper) bezüglich einem festgehaltenen Koordinatensystem oder das Koordinatensystem selbst bewegen.

Drehmatrix der Ebene R²

In der euklidischen Ebene $\R^2$ wird die Drehung um den Ursprung um den Winkel $α$ entgegen dem Uhrzeigersinn realisiert durch die Matrix:

Aktive Drehmatrix (Punkt wird gedreht)

$R = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}$ .

Passive Drehmatrix (Koordinatensystem wird gedreht)

$R^{-1} = \begin{pmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}$ .

Die aktive Drehung selbst wird durch die Multiplikation eines Vektors mit der Matrix $R$ durchgeführt:

$\vec p' = R\cdot \vec p$ .

Bei der passiven Drehung findet man die Koordinaten des Vektors im gedrehten Koordinatensystem durch Multiplikation mit der Matrix $R - 1$

$\vec p' = R^{-1}\cdot \vec p$ .

(Hinweis: Positive Winkel werden in der Mathematik üblicherweise entgegen dem Uhrzeigersinn gemessen. Möchte man mit Winkeln arbeiten, die bei Drehung mit dem Uhrzeigersinn positiv sind, so müssen die Winkel negativ eingegeben werden.)

Drehmatrizen des Raumes R³

Wichtige Drehmatrizen für Drehungen um den Ursprung um den Winkel $α$ im $\R^3$ sind:

Drehung mit x-Achse als Drehachse:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \alpha & -\sin \alpha \\ 0 & \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}$ ,

Drehung mit y-Achse als Drehachse:

$\begin{pmatrix} \cos \alpha & 0 & \sin \alpha \\ 0 & 1 & 0 \\ -\sin \alpha & 0 & \cos \alpha \end{pmatrix}$ ,

Drehung mit z-Achse als Drehachse:

$\begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ ,

Diese Matrizen gelten sowohl für Rechts- als auch für Linkssysteme. Drehungen mit positiven Drehwinkeln sind im Rechtssystem Drehungen entgegen dem Uhrzeigersinn. Im Linkssystem wird bei positiven Winkeln mit dem Uhrzeigersinn gedreht. Der Drehsinn ergibt sich, wenn man entgegen der positiven Drehachse auf den Ursprung sieht. In Rechtssystemen kann auch eine rechte-Hand-Regel angewandt werden: Zeigt der Daumen der rechten Hand in Richtung der Drehachse, so geben die gebeugten restlichen Finger die Richtung des Drehwinkels an.

Drehung mit beliebigem Einheitsvektor v=(v₁,v₂,v₃)^T als Drehachse:

$\begin{pmatrix} \cos \alpha +v_1^2 \left(1-\cos \alpha\right) & v_1 v_2 \left(1-\cos \alpha\right) - v_3 \sin \alpha & v_1 v_3 \left(1-\cos \alpha\right) + v_2 \sin \alpha \\ v_2 v_1 \left(1-\cos \alpha\right) + v_3 \sin \alpha & \cos \alpha + v_2^2\left(1-\cos \alpha\right) & v_2 v_3 \left(1-\cos \alpha\right) - v_1 \sin \alpha \\ v_3 v_1 \left(1-\cos \alpha\right) - v_2 \sin \alpha & v_3 v_2 \left(1-\cos \alpha\right) + v_1 \sin \alpha & \cos \alpha + v_3^2\left(1-\cos \alpha\right) \end{pmatrix}$ .

Diese beliebige Drehung lässt sich auch über drei aufeinanderfolgende Drehungen mit den eulerschen Winkeln um bestimmte Koordinatenachsen erzielen, so dass sich diese Matrix auch mit diesen Winkeln formulieren lässt.

Allgemeine Definition

Eine $n\times n$ -Matrix R mit reellen Komponenten heißt Drehmatrix, wenn sie

a) die Winkel zwischen Vektoren erhält (ausgedrückt durch das Skalarprodukt), wenn also für alle Vektoren x und y des $\R^n$ gilt:

$\langle Rx, Ry\rangle = \langle x, y\rangle$

und

b) orientierungserhaltend ist.

Drehmatrizen sind orthogonale Matrizen mit der Determinante +1. Die Menge aller Drehmatrizen eines Raumes bildet die spezielle orthogonale Gruppe.

Die Drehmatrix ist im allgemeinen definiert als:

$R = \vec{n}\cdot\vec{n}+\cos\phi[\vec{I}-\vec{n}\cdot\vec{n}]+\sin\phi \vec{J}$

$\vec{I} ={\vec{e}}_{\alpha}{\vec{e}}_{\alpha}$ Einheitsmatrix

$\vec{J} = \sum \limits _{\alpha =1}^3 (\vec{n} \times \vec{e_{\alpha}})\vec{e_{\alpha}}$ Erzeugende einer infinitesimalen Drehung

und die Elemente werden definiert als:

${R}_{\alpha\beta} = n_\alpha n_\beta + \cos\phi({\delta}_{\alpha\beta}-n_\alpha n_\beta)-\sin\phi {\varepsilon}_{\alpha\beta\gamma} n_\gamma$

Eigenschaften

Weitere Eigenschaften von $R \in \mathbb{R}^{n\times n}$ :

$det R = 1$ (Determinante)
$R T = R - 1$ (R transponiert = R invertiert)
$R T R = R R T = I d n$ (orthogonal)
Die Ausrichtung des Koordinatensystems (Rechts- oder Linkssystem) wird beibehalten.
Die Drehachse $\vec v$ ist die Lösung zu:

$(R-I) \vec v = \vec 0$ .

Da $(R - I)$ singulär ist, ist die Berechnung der Drehachse über eine Eigenwertzerlegung durchzuführen. Die Drehachse $\vec v$ ist Eigenvektor von $R$ mit Eigenwert $1$ .