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Ringtheorie

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Ring

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Die Ringtheorie ist ein Teilgebiet der Algebra, das sich mit den Eigenschaften von Ringen beschäftigt. Ein Ring ist eine algebraische Struktur, in der, ähnlich wie in den ganzen Zahlen \mathbb{Z}, Addition und Multiplikation definiert und miteinander bezüglich Klammersetzung verträglich sind.

Die Namensgebung Ring bezieht sich nicht auf etwas anschaulich Ringförmiges, sondern auf einen Zusammenschluss von Elementen zu einem Ganzen. Diese Wortbedeutung ist in der deutschen Sprache ansonsten weitgehend verloren gegangen. Einige ältere Vereinsbezeichnungen (wie z. B. Deutscher Ring, Weißer Ring) oder Ausdrücke wie „Verbrecherring“ weisen noch auf diese Bedeutung hin.

Inhaltsverzeichnis

Definition (Ring)

Eine Menge R mit zwei inneren binären Verknüpfungen „+“ und „ \cdot“ auf R ist ein Ring, wenn gilt:

a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c   und   (a+b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c.

Einselement

Besitzt ein Ring ein neutrales Element bezüglich der Multiplikation, so nennt man dieses die Eins des Ring oder das Einselement. Dieses Element wird meist mit 1 bezeichnet und hat die Eigenschaft

1 \cdot a = a \cdot 1 = a für alle a \in R

Abschwächung der Axiome

Wenn ein Ring ein neutrales Element der Multiplikation besitzt, dann muss nicht gefordert werden, dass die Addition kommutativ ist. Diese Eigenschaft folgt dann aus den restlichen Ringaxiomen. Für alle a,b\in R gilt:

a+a+b+b=1\cdot a+1\cdot a+1\cdot b+1\cdot b=(1+1)\cdot a+(1+1)\cdot b=(1+1)\cdot (a+b)=

1\cdot (a+b)+1\cdot (a+b)=a+b+a+b

Addiert man diese Gleichung von links mit ( − a) und von rechts mit ( − b), so erhält man:

a + b = b + a

Insgesamt wurden mit Ausnahme des Assoziativgesetzes der Multiplikation alle Axiome eines unitären Rings benutzt. Die Argumentation ist also auch für nicht-assoziative unitäre "Ringe" gültig.

Mathematische Attribute für Ringe

unitär; Ring mit Eins
Ein unitärer Ring oder Ring mit Eins ist ein Ring mit Einselement. In einigen Definitionen wird das Einselement für jeden Ring gefordert.
kommutativ
Bei einem kommutativen Ring ist auch die Multiplikation kommutativ. Mit kommutativen Ringen mit Eins beschäftigt sich die kommutative Algebra.
nullteilerfrei
In einem nullteilerfreien Ring gibt es keine von 0 verschiedenen Elemente a,b, sodass a\cdot b = 0.

Eigenschaften

  • Die allgemeine Durchführbarkeit der Subtraktion ergibt sich aus den Gruppenaxiomen der Addition.
  • Jeder Ring R ist ein Modul über sich selbst (mit sich selbst als zugrundeliegendem Ring). Die Ideale im Ring R sind gerade die Untermoduln dieses Moduls R.
  • Alle multiplikativ invertierbaren Elemente bilden die Einheitengruppe.

Spezialfälle

Boolescher Ring
Boolesche Ringe besitzen als Verknüpfungen die Und- und Oder-Verknüpfung. Sie treten in der booleschen Algebra auf.
Euklidischer Ring
In einem euklidischen Ring gibt es eine Division mit Rest. Dadurch kann der größte gemeinsame Teiler zweier Elemente mit Hilfe des euklidischen Algorithmus berechnet werden.
Faktorieller Ring, ZPE-Ring
Ein faktorieller Ring oder ZPE-Ring ist ein Integritätsring, in dem alle Elemente außer der Null eine Zerlegung in Primfaktoren besitzen.
Hauptidealring
Ein Hauptidealring ist ein Integritätsring, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist.
Integritätsring
Ein Integritätsring ist ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit Eins.
Lokaler Ring
Ein lokaler Ring ist ein Ring mit Eins, in dem es genau ein maximales (Links- oder Rechts-)Ideal gibt. Einige Autoren verlangen, dass ein lokaler kommutativer Ring zusätzlich noethersch sein muss, und nennen einen nichtnoetherschen Ring mit genau einem maximalen Ideal einen quasi-lokalen Ring. In der Wikipedia lassen wir diese Zusatzforderung weg und sprechen ggf. explizit von noetherschen lokalen Ringen.
Körper
Ein Körper ist ein kommutativer Ring mit Eins, der nicht der Nullring ist, in dem es zu allen a\in R\setminus\{0\} ein multiplikatives Inverses gibt.
Schiefkörper
Ein Schiefkörper ist ein Ring mit Eins, in dem es zu allen a\in R\setminus\{0\} ein multiplikatives Inverses gibt.

Verallgemeinerungen

Halbring
Bei einem Halbring fordert man von (R, + ) anstatt der Struktur der abelschen Gruppe nur die eines kommutativen Monoids, und dass a\cdot0=0\cdot a=0 für alle a\in R gilt. Auch hier unterscheiden sich die verwendeten Definitionen, manchmal wird nur eine Halbgruppe, manchmal die Existenz eines neutralen Elementes der Multiplikation gefordert.
Fastring
Bei einem Fastring wird nur eines der beiden Distributivgesetze gefordert, und die Addition muss nicht kommutativ sein.

Literatur

Über Ringe liest man im Allgemeinen etwas in Büchern zur Algebra.

Von „http://www.kefk.org/wiki/Ringtheorie“
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