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Eine Riemannsche Fläche (nach B. Riemann) ist im mathematischen Teilgebiet der Funktionentheorie (engl. complex analysis) eine eindimensionale komplexe Mannigfaltigkeit. Riemannsche Flächen sind damit die einfachsten geometrischen Objekte, die lokal die Struktur der komplexen Zahlen besitzen.

Eine Riemannsche Fläche ist eine zusammenhängende 1-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit. Die Untersuchung von Riemannschen Flächen fällt in das mathematische Gebiet der Funktionentheorie und hängt essentiell von Methoden der algebraischen Topologie und algebraischen Geometrie ab.

Die Riemannsche Fläche ist - historisch gesehen - die Antwort darauf, dass holomorphe Funktionen nicht immer eindeutige Fortsetzungen haben. So erhält z.B. der Hauptzweig des komplexen Logarithmus (der ja in einer Umgebung von z = 1 definiert ist) bei Fortsetzung entlang eines positiv orientierten Kreises um 0 das zusätzliche Argument 2πi.

Beispiele

• Jedes Gebiet .

• Die Riemannsche Zahlenkugel . Sie wird mitunter auch als komplex-projektive Gerade bezeichnet.

• Elliptische Kurven für ein Gitter Γ.

Siehe auch: Riemannscher Abbildungssatz

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