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Recurrence plot

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Recurrence Plot (engl: recurrence - Wiederkehr) bedeutet Wiederkehr-Darstellung und ist eine moderne Methode der nichtlinearen Datenanalyse. Die Wiederkehr-Eigenschaft ist typisch für deterministische dynamische Systeme (Chaos, nichtlineare Dynamik) und spiegelt sich auch in vielen natürlichen Prozessen wider, wie z. B. El Niño, Milankovitch Zyklen oder Sonnenflecken-Zyklen. Wiederkehr bedeutet dabei nicht, dass ganz genau der ursprüngliche Zustand wieder eintritt, sondern dass er nur beliebig genau wieder getroffen wird. Bereits Poincaré hatte die unendliche Wiederkehr von Zuständen postuliert.

Die Methode der Recurrence Plots wurde 1987 von Eckmann eingeführt. Sie dient zur Darstellung von höherdimensionalen Phasenraum-Trajektorien.

$R(i,j)=\Theta(\varepsilon - || \vec{x}(i)- \vec{x}(j) ||)$

( $\Theta(\cdot)$ -- Heaviside-Funktion, $\varepsilon$ -- Maximalabstand, $|| \cdot ||$ -- eine Norm (z.B. Euklidische Norm).

Der Recurrence Plots ist eine quadratische Matrix mit zwei Zeitachsen. In dieser Matrix sind durch schwarze Punkte diejenigen Zeitpaarungen dargestellt, deren Zustände nahezu gleich sind, d. h. wann der entsprechende Zustand wiedergekehrt ist.

Das Aussehen des Recurrence Plots wird durch das Verhalten der Phasenraum-Trajektorie bestimmt. Dabei unterscheidet man zwischen den kleinen Strukturen, wie Einzelpunkte, Diagonallinien oder Vertikallinien, und dem Gesamteindruck des Plots (Textur).

Bild:Rp examples740.gif

Typische Beispiele von Recurrence Plots (obere Reihe: Zeitreihen; untere Reihe: zugehörige Recurrence Plots). Von links nach rechts: unkorreliertes stochastisches Rauschen (Weißes Rauschen), harmonische Oscillation mit zwei Frequenzen, Chaos mit einemlinearen Trend (logistische Abbildung) und auto-regressiver Process.

Neuere Entwicklungen erlauben eine weitergehende Untersuchung von Daten durch eine quantitative Auswertung von Recurrence Plots (Zbilut und Webber, 1992; Marwan et al., 2002).

Ein Close Returns Plot ist ein Recurrence Plot mit einer etwas anderen Art der Auftragung von Wiederkehr-Zeiten. Hier entspricht die y-Achse nicht der absoluten Zeit sondern der Zeitdifferenz (also, nach welcher Zeit der Zustand wiederkehrt).

Bild:Rp soi.gif

Recurrence Plot des El Niño Index.

Literatur

J. P. Eckmann, S. O. Kamphorst, D. Ruelle: Recurrence Plots of Dynamical Systems. In: Europhysics Letters. 5, 1987

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, S. 973-977