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Raumwinkel

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Physikalische Größe
Name Raumwinkel
Größenart Raumwinkel
Formelzeichen der Größe Ω, ω
Größen- und
Einheitensystem 		Einheit Dimension
SI
11)
Anmerkungen
1) Verhältnisgröße
Wikipedia
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Der Raumwinkel Ω entspricht als geometrische Größe im dreidimensionalen Raum dem Winkel in der Ebene. Er kann definiert werden als Teilfläche S einer Kugel, dividiert durch das Quadrat des Radius r der Kugel:

Ω = S/r²

Bei einer Einheitskugel ist r = 1, folglich gibt eine Teilfläche unmittelbar den zugehörigen Raumwinkel an. Beispielsweise beträgt der volle Raumwinkel 4π, die Oberfläche der Einheitskugel, entsprechend dem ebenen Vollwinkel von 2 π = 360 Grad.

Obwohl der Raumwinkel eine dimensionslose Größe ist, wird er zur Verdeutlichung in der Einheit Steradiant angegeben. Dies entspricht dem Bogenmaß mit der Einheit Radiant beim ebenen Winkel.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Der Raumwinkel Ω einer beliebigen Fläche A entspricht dem Quotienten der Fläche S, die sich ergibt, wenn man A auf eine Kugel vom Radius r projiziert, dividiert durch r2:

\Omega:=\frac{S}{r^2}=\int\!\!\!\!\int_A \frac{\hat{\vec{n}}\cdot d\vec{a}}{\rho^2}

wobei \hat{\vec{n}} der Einheitsvektor vom Ursprung, d\vec{a} das differentielle Flächenelement und ρ dessen Abstand vom Ursprung ist.

Die Einheit des Raumwinkels

Da der Raumwinkel das Verhältnis zweier Flächen ist, hat er im SI (Internationales Einheitensystem) die abgeleitete Einheit 1 m²/m²; ihr ist im SI der besondere Name Steradiant mit dem Einheitenzeichen sr gegeben worden. Da 1 sr = 1 m²/m² = 1 ist, kann das Einheitenzeichen sr grundsätzlich auch weggelassen werden. In Anwendungsfeldern, bei denen intensiv mit Raumwinkeln gerechnet wird, ist es aber hilfreich, schon an der verwendeten Einheit erkennen zu können, welche physikalische Größe gemeint ist. Deswegen lässt man in der Lichttechnik "sr" nie weg. Die SI-Einheiten für Lichtstärke und Lichtstrom unterscheiden sich nur durch Steradiant.

Veranschaulichung

Folgendes Bild veranschaulicht die Situation:

Bild:Sterad.png

Anders als das Bild vielleicht vermuten ließe, spielt die Umrissform des Flächenstücks keine Rolle. Jede Umrissform auf der Kugeloberfläche mit dem gleichen Flächeninhalt definiert einen Raumwinkel der gleichen Größe. Legt man durch jeden Punkt der Umrissform eine Halbgerade (auch Strahl genannt) mit dem Mittelpunkt der Kugel als Startpunkt, dann erhält man eine geometrische Figur, die den Raumwinkel veranschaulicht. (Dies ist vergleichbar mit der Darstellung für einen Winkel in der Ebene: Zwei Halbgeraden mit einem gemeinsamen Startpunkt.)

Der volle Raumwinkel

Da die ganze Kugeloberfläche den Flächeninhalt S = 4πr2 besitzt, ist der zugehörige volle Raumwinkel

\Omega = \frac{S}{r^2} = \frac{4 \pi r^2}{r^2} = 4 \pi \mathrm{sr} \approx 12{,}57\ \mathrm{sr}

Unabhängigkeit vom Kugelradius

Man betrachte zwei konzentrische Kugeln mit den Radien r1 und r2, und ein Flächenstück S auf der ersten Kugel. Man nehme nun alle Strahlen aus dem Mittelpunkt der Kugeln durch S.

Die Schnittpunkte der Strahlen mit der zweiten Kugel bilden eine Fläche S'. Deren Fläche beträgt dann das \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^2-fache von S, da alle Abmessungen im Verhältnis \frac{r_2}{r_1} verändert wurden. Der Raumwinkel bleibt aber unverändert und damit unabhängig vom Kugelradius.

Kanonischer Raumwinkel

Wählt man als Umrissform eine Kugel, so erhält man den kanonischen Raumwinkel. Der Raumwinkel bildet dann einen Kegel, in dessen Spitze der Mittelpunkt der Kugel liegt.

Bei einem gegebenen Öffnungswinkel ω des Kegels berechnet sich der Raumwinkel zu

\Omega = 2 \pi \left(1-\cos\frac{\omega}{2}\right) = 4 \pi \sin^2 \frac{\omega}{4}

Man sieht, dass der Vollwinkel, das heißt alle Raumrichtungen per ω = 2 π, dem vollen Raumwinkel von 4 π entspricht.

Oosterom-und-Strackee-Algorithmus

Ein effizienter Algorithmus zur Berechnung des Raumwinkels eines allgemeinen Dreiecks mit Vektoren R1, R2 und R3 - betrachtet vom Ursprung - wurde von Oosterom und Strackee (IEEE Trans. Biom. Eng., Vol BME-30, Nr 2, 1983) bewiesen zu:

\tan \left( \frac{1}{2} \Omega \right) = \frac{[ {\mathbf R}_{1}{\mathbf R}_{2}{\mathbf R}_{3}]}{ R_{1}R_{2}R_{3} + ( {\mathbf R}_{1} \cdot {\mathbf R}_{2})R_{3} + ( {\mathbf R}_{1} \cdot {\mathbf R}_{3})R_{2} + ( {\mathbf R}_{2} \cdot {\mathbf R}_{3})R_{1}} ,

wobei:

[R1R2R3] eine Determinante darstellt,
Ri ist der Abstand des Punktes i zum Ursprung,
Ri·Rj ist das Skalarprodukt der beiden Vektoren.

Zusammenhang zwischen Raumwinkel und Kugelkoordinaten

Zusammenhang zwischen Raumwinkel und Polarkoordinaten
Zusammenhang zwischen Raumwinkel und Polarkoordinaten

In einem Kugelkoordinatensystem bestimmen der Meridianwinkel φ und der Breitenwinkel γ einen Punkt auf einer Kugeloberfläche, jeweils zwei Winkel φ1, φ2, γ1 und γ2 ein Flächenelement. Der zugehörige Raumwinkel beträgt:

\Omega = \int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\int_{\gamma_1}^{\gamma_2} \sin \gamma \, \mathrm{d}\gamma \, \mathrm{d}\varphi
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