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Rationale Funktion

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Eine rationale Funktion, ist in der Mathematik eine Funktion, die sich in der Form

f(x)=\frac{a_z x^z+a_{z-1} x^{z-1}+\cdots +a_1x+a_0}{b_n x^n+b_{n-1} x^{n-1}+\cdots +b_1x+b_0} = \frac{P_z(x)}{P_n(x)} \quad ; \quad z, n \in \mathbb{N}_0 ,

also als Quotient zweier Polynome schreiben lässt.

Bild:Gratfnk ok.gif
rot: Graph der gebrochenrationalen Funktion f mit f(x)=\frac{2(x + 2)(x + 1)(x - 1)^2}{(x + 1)(2x - 1)}, blau: Polgerade durch die Polstelle bei x = 0.5, grün: Asymptotenfunktion g mit g(x) = x2 + x / 2 − 11 / 4, stetig behebbare Definitionslücke bei x = − 1

Inhaltsverzeichnis

Einteilung

  • Ist das Nennerpolynom Pn vom Grad 0 , also n = 0 und ist Pn nicht das Nullpolynom, so spricht man von einer ganzrationalen Funktion oder von einer Polynomfunktion.
  • Ist n > 0 , so handelt es sich um eine gebrochenrationale Funktion.
    • Ist n > 0 und z < n, so handelt es sich um eine echt gebrochenrationale Funktion.
    • Ist n > 0 und z ≥ n, so handelt es sich um eine unecht gebrochenrationale Funktion. Sie kann über Polynomdivision in eine ganzrationalen Funktion und eine echt gebrochenrationale Funktion aufgeteilt werden (siehe unten).

Asymptotisches Verhalten

Für das Verhalten für x gegen Unendlich sind die Grade z bzw. n des Zähler- bzw. Nenner-Polynoms entscheidend:

Für x\to\infty geht f(x)

  • gegen \sgn(a_z)\cdot\sgn(b_n)\cdot\infty, falls z > n, wobei mit sgn() das Vorzeichen des Summanden mit der größten Potenz jeweils in Zähler und Nenner gemeint sind (für Genaueres über sgn() siehe Signum),
  • gegen az / bn, falls z = n (parallel zur x-Achse),
  • gegen 0 (x-Achse), falls z < n,
  • schräg verlaufende Asymptote bei dem Sonderfall z = n + 1.

Kurvendiskussion

Anhand des Funktionsterms der rationalen Funktion f={p\over q}:x\mapsto \frac{p(x)}{q(x)} lassen sich folgende Aussagen zum Funktionsgraphen machen.

Symmetrie

Eine Polynomfunktion (ganzrationale Funktion) ist gerade/ungerade, wenn alle Exponenten gerade/ungerade sind. Sind Zählerpolynom p und Nennerpolynom q von einem dieser beiden Typen, so ist auch die rationale Funktion f gerade oder ungerade:

  • Sind p und q beide gerade oder beide ungerade, so ist f gerade (d.h. symmetrisch zur y-Achse)
  • Ist p gerade und q ungerade, so ist f ungerade (d.h. punktsymmetrisch zum Ursprung); gleiches gilt, wenn p ungerade und q gerade ist.

In allen anderen Fällen sind Symmetrieeigenschaften von f schwieriger zu entscheiden. Siehe auch Kurvendiskussion.

Definitionsbereich, Nullstellen und Polstellen

Die gebrochenrationale Funktion ist an den Nullstellen des Nennerpolynoms q nicht definiert.

Die Nullstellen einer gebrochenrationalen Funktion werden durch die Nullstellen des Zählerpolynoms p bestimmt.

Ein Spezialfall ergibt sich, wenn eine reelle Zahl a\in\R gleichzeitig Nullstelle des Zählerpolynoms und des Nennerpolynoms ist. Dann sind Zähler- und Nennerpolynom durch den zugehörigen Linearfaktor x − a (eventuell sogar mehrfach) teilbar.

Asymptote

Durch die Polynomdivision von p durch q erhält man p = g\cdot q + r mit Polynomen g und r, wobei der Grad von r kleiner als der von q ist. Das asymptotische Verhalten von

f = {p\over q} = g + {r\over q}

ist damit durch die Polynomfunktion g bestimmt (die konkrete Durchführung der Polynomdivision ist nur bei 3. und 4. notwendig):

  1. z < n => x-Achse ist Asymptote: g(x) = 0
  2. z = n => waagrechte Asymptote: g(x) = \frac{a_z}{b_n}
  3. z = n + 1 => schräge Asymptote: g(x) = mx + c \,; m \ne 0 (Spezialfall von 4)
  4. z > n \,; z \ne n +1 => ganzrationale Näherungsfunktion

Siehe auch

Wikipedia
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