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Raketengrundgleichung

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Die Raketengrundgleichung wurde erstmals 1903 von Konstantin Ziolkowski und unabhängig von ihm später auch von Hermann Oberth und Robert Goddard aufgestellt. Sie beschreibt die grundlegenden Gesetzmäßigkeiten des Raketenantriebs.

Betrachtet wird der Fall, dass eine einstufige Rakete im gravitationsfreien Vakuum beschleunige. Eine Abbremsung durch Gravitation und Reibung wird nicht in Betracht gezogen. Außerdem wird von Geschwindigkeiten ausgegangen, die weit unterhalb der Lichtgeschwindigkeit liegen, was aber für Raketen erfüllt ist. Die Rakete habe beim Start die Geschwindigkeit Null und stoße Treibstoff mit einer konstanten Ausströmgeschwindigkeit aus. Dann beträgt die Geschwindigkeit nach der Zeit t

v(t) = v_g \cdot \ln\left(\frac{m(0)}{m(t)}\right)

Dabei ist

v(t) die Raketengeschwindigkeit zur Zeit t,
vg die Ausströmgeschwindigkeit des Antriebsstrahles (typisch: 4,5 km/s bei chemischen Raketentriebwerken)
m(0) die Startmasse der Rakete und
m(t) die Masse der Rakete zur Zeit t (also um den verbrauchten Treibstoff verkleinerte Startmasse)

Detaillierte Herleitung der Gleichung

Die Treibstoffgase strömen mit einer (konstanten) Geschwindigkeit vg nach hinten aus und beschleunigen die Rakete, die eine Masse m(t) zum Zeitpunkt t hat, nach vorne.

Der Ausdruck dm ist die Menge Gas, die in einem Zeitintervall dt ausgestossen wird. Dann hat die Rakete die Masse m(t) zur Zeit t und die Masse m(t) − dm zur Zeit t + dt. Die Änderung des Impulses wird durch den Ausstoss der Masse dm bewirkt. Die Änderung ist eine Kraft die auf m(t) − dm beschleunigend wirkt, und nicht auf m(t) da nach Ablauf der Zeit t + dt die Rakete eine Masse von m(t) − dm besitzt.

Mit der Ausstossgeschwindigkeit und der ausgestossenen Masse ergibt sich ein Impuls p1 von p_1 = v_g \cdot dm . Im Allgemeinen sind diese Größen zeitabhängig, so das man schreiben kann \frac{dp_1}{dt}=v_g \cdot \frac{dm(t)}{dt} .

Für die beschleunigte Rakete gilt die Gleichung \frac{dp_2}{dt}=m(t) \cdot \frac{dv(t)}{dt}

Gemäß dem zweiten Newtonschen Axiom gilt

F = m \cdot \dot{v} + {v} \cdot \dot m

Da die Beschleunigung dem Impulserhaltungssatz \frac{dp_2}{dt}=\frac{dp_1}{dt} bzw. 0 = \frac{dp_2}{dt} - \frac{dp_1}{dt} gehorchen muss, ergibt sich folgende Differentialgleichung:

0 = F = \dot{p} = m(t) \cdot \frac{dv(t)}{dt} + v_g \cdot \frac{dm(t)}{dt}

Diese Gleichung kann man numerisch für einzelne Zeitschritte lösen. Wenn man einen kontinuierlichen Treibstoffausstoß annimmt, kann man obige Gleichung als Differentialgleichung auffassen und erhält über Integration die obige Raketengleichung:

Teilen durch m und Multiplizieren mit dt liefert

dv + v_g \cdot \frac{dm}{m} = 0

Um die Geschwindigkeit v zu einem Zeitpunkt t zu erhalten, muss die Gleichung nun integriert werden

\int_0^t dv + \int_0^t v_g \cdot \frac{dm}{m} = 0

Und als Ergebnis ergibt sich die Raketengleichung

v(t) = v_g \cdot \ln \left(\frac{m(0)}{m(t)}\right)

bzw:

\vec{v}(t) = -\vec{v}_g \cdot \ln \left(\frac{m(0)}{m(t)}\right)

Praxisbezug

Die Raketengrundgleichung gilt auch im Vakuum des Weltraums. Für eine bestimmte Zielgeschwindigkeit ist die benötigte Energie minimal, wenn die Ausströmgeschwindigkeit 62,75 % der Zielgeschwindigkeit beträgt.

Für Raketenstarts von der Erde muss die Formel um die Erdanziehungkraft ergänzt werden und lautet dann:

v(t) = v_{g} \cdot \ln \left(\frac{m(0)}{m(t)}\right) - g \cdot t
g steht dabei für die Fallbeschleunigung von zunächst 9,81 m/s²

Da g von der Höhe abhängt, heißt es mit dieser Korrektur:

v(t) = v_{g} \cdot \ln \left(\frac{m(0)}{m(t)}\right) - \int_{0}^{t} g(t') \,dt'

In der Realität hat man außerdem den Vorteil, dass sich die Erde um die eigene Achse dreht und man diese Geschwindigkeit mitbenutzen kann. (Am Äquator sind das etwa 0,46 km/s bei einem Start nach Osten.)

Flugzeuge, die durch Strahltriebwerke angetrieben werden, führen zwar ihren Brennstoff mit, saugen aber Luft an, verwenden deren Sauerstoff für die Verbrennung des Treibstoffs und stoßen das entstehende heiße Gasgemisch aus. Sie führen also nur einen Teil ihrer Antriebsmasse mit sich. Für solche Flugkörper gilt die Raketengrundgleichung nicht.

Bei Swing-by-Manövern gilt die Raketengrundgleichung nicht, weil der Impuls des ablenkenden Körpers mit berücksichtigt werden muss. Das gleiche gilt für geplante Antriebe, die das Magnetfeld der Erde oder Sonne nutzen sollen.

Die Raketengrundgleichung setzt auf die klassische Mechanik auf, gilt also nur für Geschwindigkeiten weit unter der Lichtgeschwindigkeit. In der heutigen Raumfahrt werden jedoch nur etwa 0,01% der Lichtgeschwindigkeit erreicht, so dass relativistische Effekte vernachlässigt werden können.

Weblinks

  1. TU Stuttgart, Institut für Raumfahrtsysteme: Die Raketengrund- oder Ziolkowski-Gleichung (pdf, 1,7MB)
  2. Herleitung der Raketengrundgleichnung (englisch)
  3. Vorlesungsscript der TU München
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