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Quotientenregel

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Die Quotientenregel ist eine grundlegende Regel der Differentialrechnung. Sie führt die Berechnung der Ableitung eines Quotienten von Funktionen auf die Berechnung der Ableitung der einzelnen Funktionen zurück.

Sind die Funktionen u(x) und v(x) von einem Intervall D in die reellen oder komplexen Zahlen an der Stelle x = xa mit v(x_a)\neq 0 differenzierbar, dann ist auch die Funktion f mit

f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}

an der Stelle xa differenzierbar und es gilt:

f'(x_a) = \frac{u'(x_a)\cdot v(x_a) - u(x_a)\cdot v'(x_a)}{(v(x_a))^2} .

In Kurzschreibweise:

\left(\frac{u}{v}\right)' = \left( \frac{u'v - u v'}{v^2} \right)

Erklärung

Der Quotient u(x) \over v(x) kann als Steigung in einem Steigungsdreieck gedeutet werden, dessen Katheten u(x) und v(x) sind (siehe Abbildung).

Bild:Quotientenregel.PNG

Wenn x um Δx anwächst, ändert sich u um Δu und v um Δv. Die Änderung der Steigung ist dann

{ \Delta \left( {u \over v} \right) } = {{{ u + \Delta u } \over { v + \Delta v }} - { u \over v }}
= {{ ( u + \Delta u ) \cdot v - u \cdot ( v + \Delta v ) } \over { ( v + \Delta v ) \cdot v }}
= {{ u \cdot v + \Delta u \cdot v - u \cdot v - u \cdot \Delta v } \over { v^2 + \Delta v \cdot v }}
= {{ \Delta u \cdot v - u \cdot \Delta v } \over { v^2 + \Delta v \cdot v }}

Dividiert man durch Δx, so folgt

{{{ \Delta \left( {u \over v} \right) } \over {\Delta x}}} = {{{ \Delta u \over \Delta x } \cdot v - u \cdot {\Delta v \over \Delta x} } \over { v^2 + \Delta v \cdot v }}

Bildet man nun Limes Δx gegen 0, so wird

{{\left( {u \over v} \right) '}} = {{ u ' \cdot v - u \cdot v ' } \over { v^2 }}

wie behauptet.

Mit einer Eselsbrücke lässt sich die Quotientenregel einfach merken: (NAZ-ZAN)/N^2, dabei steht N für Nenner und Z für Zähler (das A steht für Abgeleitet - so z. B. NAZ für "Nenner mal Abgeleiteter Zähler).

Literatur

Die Quotientenregel für Funktionen wird in jedem Buch erläutert, das Differentialrechnung in allgemeiner Form behandelt.

Wikipedia
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