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Quadratzahl

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Als Quadratzahl wird in der Mathematik jede natürliche Zahl x bezeichnet, die das Produkt zweier gleicher, ganzer Zahlen ist, also x = n · n = n² (sprich: n Quadrat). Die Faktoren können auch negativ sein: x = (-n) · (-n) = (-n)².

Umgekehrt ist die Quadratwurzel jeder Quadratzahl eine natürliche Zahl. Die Zahl Null wird üblicherweise nicht als Quadratzahl angesehen.

Inhaltsverzeichnis

Beispiele

  • 4 ist eine Quadratzahl, denn 4 = 2 · 2 = 2² (sprich: 2 zum Quadrat).
  • 6 ist keine Quadratzahl, denn 6 = 3 · 2 lässt sich nicht als Quadrat einer ganzen Zahl darstellen.
  • 144 ist eine Quadratzahl, denn 144 = 12 · 12 = 12².
  • 10.000 ist eine Quadratzahl, denn 10.000 = 100 · 100 = 100².

Die ersten zwanzig Quadratzahlen sind:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400.

Eigenschaften

Eine Quadratzahl hat eine ungerade Anzahl von Teilern. Quadrate enden nie mit 2, 3, 7 oder 8.

Formeln zum Generieren von Quadratzahlen

Eine Quadratzahl n² lässt sich als Summe der ersten n natürlichen, ungeraden Zahlen nach der Formel:

n^2 = \sum^n_{i=1} (2i-1) = 1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1)

bilden. Außerdem ergibt die Summe zweier aufeinander folgender Dreieckszahlen eine Quadratzahl, wobei gilt:

n^2 = \frac{n(n-1)}{2} + \frac{n(n+1)}{2}

Außerdem gilt:

n^2 = (n-a)(n+a) + a^2\

Diese Eigenschaft trifft u.a., mit a = 1, auch auf die Primzahlzwillinge zu.

Jede Pyramidenzahl lässt sich als Summe der ersten n Quadratzahlen bilden:

\sum^n_{i=1} i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

Trick zum Berechnen von Fünfer-Quadratzahlen im Kopf

Das Quadrat von Zahlen, die auf 5 enden, lässt sich leicht im Kopf berechnen. Man multipliziert die Zahl ohne die Einerziffer 5 (z. B. bei 45 die 4) mit ihrem Nachfolger (hier 4+1 = 5) und hängt an das Produkt (hier 4·5 = 20) die Ziffern 2 und 5 an (Endergebnis 2025).

\underline{1}5^2 = \underline{2}25
\underline{2}5^2 = \underline{6}25
\underline{3}5^2 = \underline{12}25
\underline{4}5^2 = [4 \cdot (4+1)]25 = \underline{20}25
[a]5^2 = [a \cdot (a+1)]25

Beweis: Eine Fünferzahl lässt sich darstellen als 10 \cdot k+5, k \in \mathbb{N}. Ihr Quadrat ist somit (10 \cdot k+5)^2 = 100k^2+100k+25 = 100 \cdot k(k+1)+25.

Siehe auch

Wikipedia
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