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Eine quadratische Form ist in der Mathematik eine Funktion, die sich in einigen Aspekten wie verhält. Das bekannteste Beispiel ist das Quadrat des Betrages eines Vektors.

Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Bezug zu symmetrischen Bilinearformen 3 Zahlentheorie 4 Beispiel 5 Verwandte Begriffe 6 Einzelnachweise

Definition

Eine quadratische Form (in n Unbestimmten) über einem kommutativen Ring mit Einselement A ist ein homogenes Polynom vom Grad 2 in n Unbestimmten mit Koeffizienten in A.

Für n = 2 bzw. n = 3 spricht man von binären bzw. ternären quadratischen Formen. Eine binäre quadratische Form ist also nichts anderes als ein Polynom

aX² + bXY + cY² mit .

Bezug zu symmetrischen Bilinearformen

Im folgenden sei angenommen, dass 2 in A invertierbar ist. Dies gilt insbesondere für Körper der Charakteristik ungleich 2 wie die reellen oder komplexen Zahlen.

Es gibt eine eineindeutige Entsprechung zwischen quadratischen Formen in n Unbestimmten und symmetrischen Bilinearformen auf Aⁿ:

• Zu einer quadratischen Form q erhält man eine symmetrische Bilinearform durch Polarisierung

Parser-Fehler (Unbekannter Fehler\bigl): B(x,y)=\frac12\bigl(q(x+y)-q(x)-q(y)\bigr).

Diese Formel heißt auch Polarisationsidentität.

• Zu einer Bilinearform B erhält man eine quadratische Form durch

q(x) = B(x,x).

(Formal gesehen liefert diese Konstruktion zunächst nur eine Polynomfunktion; man erhält aber tatsächlich ein Polynom, indem man die Bilinearform durch eine Matrix darstellt oder sie auf beliebige A-Algebren ausdehnt.)

Diese beiden Konstruktionen sind zueinander invers. Insbesondere lassen sich quadratische Formen mit symmetrischen -Matrizen identifizieren.

Zahlentheorie

Zwei klassische zahlentheoretische Fragestellungen im Kontext von binären quadratischen Formen über den ganzen Zahlen sind einerseits die Frage, welche Zahlen durch eine konkrete quadratische Form dargestellt werden (d. h. welche Werte sie annimmt), andererseits die Frage nach der Klassifikation aller quadratischen Formen. Beide Problemstellungen trugen entscheidend zur Entwicklung der algebraischen Zahlentheorie bei.

Beispiele für Aussagen des ersten Typs sind:^[1]

• Eine natürliche Zahl lässt sich genau dann in der Form x² + y² mit ganzen Zahlen x,y schreiben, wenn sie jeden Primfaktor der Form 4k + 3 in gerader Vielfachheit enthält.
• Eine Primzahl p > 3 lässt sich genau dann in der Form x² + xy + y² mit ganzen Zahlen x,y schreiben, wenn

gilt (für die Notation siehe Kongruenz (Zahlentheorie)).

Beispiel

Das Quadrat des Betrags eines Vektors also ist eine quadratische Form. In diesem Fall lautet die oben beschriebene Polarisationsidentität:

Verwandte Begriffe

Die (projektive) Nullstellenmenge einer quadratischen Form wird als Quadrik bezeichnet.

Einzelnachweise

1. ↑ G. H. Hardy, E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 4. Auflage, Oxford University Press, Oxford 1975. ISBN 0-19-853310-1: Theorem 366, S. 299; Theorem 254, S. 221

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