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Punktweise Konvergenz

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In der Analysis ist punktweise Konvergenz die Eigenschaft einer Funktionenfolge fn(x), für jedes Element x des Definitionsbereichs Df gegen den Wert einer Grenzfunktion f(x) zu konvergieren.

Die Folge fn(x) ist also genau dann punktweise konvergent, wenn für jedes x aus dem Definitionsbereich gilt:

\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=f(x).

Man schreibt dann

\lim_{n\rightarrow\infty}f_n(x)=f(x)\ \mbox{punktweise}

oder f_n(x) \rightarrow_{pktw.} f(x)\ (n \rightarrow \infty).

fn konvergiert genau dann punktweise gegen f, wenn

\forall x \in \mathbb{D}_f \ \forall \varepsilon > 0 \ \exists N \in \mathbb{N} \ \forall n \ge N : \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon,

d.h. es muss für jedes x und für jedes ε > 0 eine natürliche Zahl N geben, so dass für alle n\geq N gilt: \left|f_n(x)-f(x)\right| < \varepsilon.


Beispiel

Zum Beispiel konvergiert die Folge

f_n(x) : x \mapsto x^n

im Intervall [0,1] punktweise gegen die Funktion

f(x) = \begin{cases} 0 & (x < 1) \\ 1 & (x=1) \end{cases} ,

denn offenbar gilt

Parser-Fehler (die PNG-Konvertierung schlug fehl): \lim_{n\rightarrow\infty}x^n = 0 \ \mbox{für alle}\ x \in [0, 1[ \ \mbox{und}\ \lim_{n\rightarrow\infty}1^n = 1.


Abgrenzung

Es ist allerdings zu beachten, dass punktweise Konvergenz nicht gleichbedeutend mit gleichmäßiger Konvergenz ist, da z.B. das oben genannte Beispiel zwar punktweise, keineswegs aber gleichmäßig konvergiert (so ist jedes Element der Folge überall stetig differenzierbar, die Grenzfunktion allerdings nicht einmal stetig): Gleichmäßige Konvergenz ist eine wesentlich stärkere Aussage.

Für punktweise Konvergenz müssen die Werte der Funktionen fn nicht unbedingt reelle Zahlen sein, sie können Elemente irgendeines Topologischen Raumes sein.

Wikipedia
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