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Projektion (Mathematik)

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In der Mathematik ist eine Projektion oder ein Projektor eine idempotente lineare Abbildung eines Vektorraumes V in sich selbst.

Für jede Projektion P gilt per definitionem P2 = P. Eine Projektion kann nur die Eigenwerte 0 und 1 haben. Die Eigenräume sind

  • \ker P zum Eigenwert 0
  • \operatorname{im}P zum Eigenwert 1.

Der gesamte Raum ist die direkte Summe dieser beiden Unterräume:

V=\ker P\oplus\operatorname{im}P.

Die Abbildung P ist anschaulich gesprochen eine Parallelprojektion auf \operatorname{im}P entlang \ker P.

Ist P eine Projektion, so ist auch \operatorname{id}-P eine Projektion, und es gilt

\ker P = \operatorname{im}(\operatorname{id}-P),\quad\operatorname{im}P=\ker(\operatorname{id}-P).

Projektionen und Komplemente

Ist V ein Vektorraum und U ein Unterraum, so gibt es im Allgemeinen viele Projektionen auf U, d.h. Projektionen, deren Bild U ist. Ist P eine Projektion mit Bild U, so ist \ker P ein Komplement zu U in V. Ist umgekehrt W ein Komplement von U in V, so ist die kanonische Abbildung

V=U\oplus W\to U\to V

eine Projektion mit Bild U. Projektionen mit vorgegebenem Bild und Komplemente entsprechen einander also.

Ist insbesondere V ein endlichdimensionaler reeller oder komplexer Vektorraum mit einem positiv definiten Skalarprodukt, so gibt es zu jedem Unterraum U die Projektion entlang des orthogonalen Komplementes von U, welche orthogonale Projektion auf U genannt wird. Sie ist die eindeutig bestimmte Abbildung p\colon V\to V, für die

  • p(v)\in U

und

  • v-p(v)\perp U

für alle v\in V gilt.

Ist V ein unendlichdimensionaler Hilbertraum, so gelten diese Aussagen entsprechend für abgeschlossene Unterräume U. Diese Aussage wird häufig auch als Projektionssatz bezeichnet.

Beispiel

P sei die Abbildung der Ebene \mathbb{R}^2 in sich, die durch die Matrix

\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}

beschrieben ist. Sie projiziert einen Vektor \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} orthogonal auf die x-Achse.

Der Eigenraum zum Eigenwert 0 wird von \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}, der Eigenraum zum Eigenwert 1 von \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} aufgespannt.

Der Projektor \operatorname{id}-P ist die Projektion auf die y-Achse.

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