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Projektion ist in der Geometrie eine Abbildung, die Punkte des dreidimensionalen Raumes auf Punkte einer gegebenen Ebene abbildet. Eine Projektion dient häufig dazu, Schrägbilder von geometrischen Körpern herzustellen. Man unterscheidet zwei Grundtypen, die Parallelprojektion und die Zentralprojektion.

Parallelprojektion

Bei der Parallelprojektion, auch Orthografische Projektion oder Orthoprojektion, sind eine Projektionsebene und eine Projektionsrichtung gegeben. Den Bildpunkt eines beliebigen Punktes im Raum erhält man dadurch, dass man die Parallele zur Projektionsrichtung durch diesen Punkt mit der Projektionsebene zum Schnitt bringt.

Geraden werden durch eine Parallelprojektion im Allgemeinen wieder auf Geraden abgebildet. Das gilt jedoch nicht für Parallelen zur Projektionsrichtung, da diese in Punkte übergehen. Die Bildgeraden von parallelen Geraden sind - soweit definiert - ebenfalls parallel zueinander. Die Länge einer Strecke bleibt nur dann erhalten, wenn diese parallel zur Projektionsebene verläuft; in allen anderen Fällen erscheinen Strecken in der Projektion verkürzt. Auch die Größe eines projizierten Winkels stimmt normalerweise nicht mit der Größe des ursprünglichen Winkels überein. Aus diesem Grund wird ein Rechteck im Allgemeinen auf ein Parallelogramm abgebildet, aber nur in Ausnahmefällen auf ein Rechteck. Ähnliches gilt für Kreise, die im Allgemeinen in Ellipsen übergehen.

Ein wichtiger Spezialfall ist die orthogonale (senkrechte) Parallelprojektion. Sie ist dadurch gekennzeichnet, dass Projektionsrichtung und Projektionsebene zueinander senkrecht sind. Die orthogonale Parallelprojektion entspricht einer Fotografie mit einem telezentrischen Objektiv oder (näherungsweise) mit einem starken Teleobjektiv.

Berechnung von Bildpunkten

Soll ein Punkt P auf eine Ebene mittels einer Parallelprojektion mit der Projektionsrichtung abgebildet werden, so ist der Bildpunkt von P der Schnittpunkt der Geraden g durch P mit dem Richtungsvektor .

Lässt man Ebene und Gerade schneiden, so ergibt sich für den Parameter λ:

Setzt man diesen in die Gerade g ein, so erhält man den Schnittpunkt dieser mit E und damit den Bildpunkt P'.

Da die Parallelprojektion Abstandverhältnisse nicht bewahrt (in der in obiger Abbildung dargestellten Projektion beispielsweise sind einige Bildkanten länger als andere, was für die Kanten des projizierten Würfels natürlich nicht der Fall ist), handelt es sich bei der Parallelprojektion nicht um eine affine Abbildung und es lässt sich obiger Zusammenhang deshalb auch nicht mittels einer Matrixmultiplikation und einer Vektoraddition darstellen.

Zentralprojektion (Fluchtpunktverfahren)

Hauptartikel Zentralprojektion

Das Verfahren, welches in der Praxis zur Geltung kommt, macht sich zu Nutze, wie unser Gesichtssinn arbeitet: Ein Punkt in der Ferne wird fixiert, und die dreidimensionale Wirkung ergibt sich dadurch, dass weiter entfernte Punkte in ihren X- und Y- Koordinatenanteilen näher an diesen Fluchtpunkt heranrücken. Das bedeutet: Bei der Darstellung dreidimensionaler Objekte beispielsweise auf einem Computerbildschirm müssen erst die Koordinaten absolut definiert werden, und dann mittels Fluchtlinien auf der Ebene dargestellt werden.

Berechnung von Bildpunkten

Die Berechnung der Verschiebung um die x-Achse und die y-Achse entlang der Fluchtlinien findet mithilfe der Strahlensätze statt.
Es sei P = (P_x,P_y,P_z)^T der Punkt, dargestellt als dreidimensionaler Vektor, Q = (Q_x,Q_y,Q_z)^T der Fluchtpunkt und R = (R_x,R_y)^T die zu berechnenden Koordinaten im zweidimensionalen Raum. Dann ist

und dementsprechend

.

Anwendungen

Als fortlaufende Parallelprojektion seit 1822 für den Bildkartentypus des Rheinpanorama in Gebrauch.

Siehe auch

• Dreitafelprojektion
• Orthografische Azimutalprojektion
• Kartenprojektion
• engl. Wikipedia „3D projection“ (engl.)

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