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Primzahlsatz

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Der Primzahlsatz erlaubt eine endliche Abschätzung der Verteilung der Primzahlen. Er wurde bereits von Gauß um 1800 vermutet, aber erst 1896 unabhängig von Hadamard und de la Vallée Poussin bewiesen.

Inhaltsverzeichnis

Die Primzahlfunktion

Im weiteren sei π(x) die Primzahlfunktion, die für beliebige reelle Zahlen x definiert ist als die Anzahl der Primzahlen p\leq x. Formal kann man schreiben:

\pi (x) = \# \{p \in \mathbb{P} \mid p \le x\}

Dabei bezeichnet das Symbol \mathbb{P} die Menge der Primzahlen, die Schreibweise \#M steht für die Anzahl der Elemente der Menge M.

Der Primzahlsatz

Der Primzahlsatz besagt:

\lim_{x \to \infty}\frac{\pi(x)}{\frac{x}{\ln(x)}} = 1.

Nennt man zwei reelle Funktionen f(x) und g(x) asymptotisch äquivalent, in Formelschreibweise f(x)\sim g(x), wenn der Quotient f(x) / g(x) für x\to\infty gegen 1 konvergiert, so kann man den Primzahlsatz auch so formulieren:

Die Funktionen π(x) und x / lnx sind asymptotisch äquivalent.

Stärkere Formen des Primzahlsatzes

Bessere Approximationen als x / lnx liefert der so genannte Integrallogarithmus, der definiert wird als

\mathrm{Li}(x) = \int_2^x \frac{\mathrm{d}t}{\ln t}.

(Die Integraldarstellung für Li(x) wird gewählt, weil die Stammfunktion von 1/ln(x) nicht elementar ist.)

Der Integrallogarithmus ist asymptotisch äquivalent zu x / lnx, also auch zu π(x).

Man kann sogar zeigen:

\pi(x) = \mathrm{Li}\,x + O(x\exp(-C\sqrt{\ln x}))
mit einer positiven Konstanten C.

O(\ldots) ist dabei ein Landau-Symbol, d.h. es gibt eine Konstante D, so dass

|\pi(x)-\mathrm{Li}\,x|<D\cdot x\exp(-C\sqrt{\ln x})

für alle x gilt.


Unter Annahme der Riemannschen Vermutung, und nur unter dieser, kann man die Fehlerabschätzung zu

\pi(x) = \mathrm{Li}\,x + O(\sqrt{x}\ln{x})

verbessern.

Geschichte

  • Legendre vermutete 1797/98, π(x) sei ungefähr gleich
\frac x{\ln x - 1{,}08366}.
0{,}92929 \le \frac{\pi(x)}{\frac{x}{\ln(x)}} \le 1{,}1056
für alle hinreichend großen x.
  • In seiner berühmten Arbeit Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe (1859) hat Bernhard Riemann den Zusammenhang zwischen der Verteilung der Primzahlen und den Eigenschaften der Riemannschen Zetafunktion aufgezeigt. Später wurde bewiesen, dass der Primzahlsatz dem Satz äquivalent ist, dass die Riemannsche Zetafunktion keine Nullstellen mit Realteil 1 hat.
  • Sowohl Hadamard als auch de la Vallée Poussin haben 1896 die Nichtexistenz solcher Nullstellen bewiesen. Ihre Beweise des Primzahlsatzes sind also nicht „elementar“, sondern verwenden funktionentheoretische Methoden.
  • Lange Jahre galt ein elementarer Beweis des Primzahlsatzes für unmöglich, was 1949 durch die von Atle Selberg und Paul Erdős gefundenen Beweise widerlegt wurde (wobei „elementar“ hier keineswegs „einfach“ bedeutet). Später wurden noch zahlreiche Varianten und Vereinfachungen dieser Beweise gefunden.

Zahlenbeispiele

Bild:PrimeNumberTheorem.png
Darstellung von π(x), x / ln(x) und Li(x)
Die folgende Tabelle zeigt konkrete Werte des Primzahlsatzes sowie die Werte, die sich aus Legendres Formel ergeben.
x π(x) π(x) / x x / ln(x) π(x)·ln(x) / x Legendre
10 4 0,4000 4,34 0,9210 8
100 25 0,2500 21,71 1,1513 28
1.000 168 0,1680 144,76 1,1605 172
10.000 1.229 0,1229 1.085,74 1,1320 1.231
100.000 9.592 0,0959 8.685,89 1,1043 9.588
1.000.000 78.498 0,0785 72.382,41 1,0845 78.543
10.000.000 664.579 0,0665 620.420,69 1,0712 665.140
100.000.000 5.761.455 0,0576 5.428.681,02 1,0613 5.768.004
1.000.000.000 50.847.534 0,0508 48.254.942,43 1,0537 50.917.519

Die Größe π(x) / x heißt Primzahldichte.

Literatur

  • E. Freitag, R. Busam: Funktionentheorie. 2. Aufl., Springer-Verlag, Berlin 1995.
  • G. H. Hardy, E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, 5. Auflage, Oxford University Press, Oxford 1979. ISBN 0198531710

Weblinks

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