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Potenzreihe

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Bild:Disambig-dark.svg Dieser Artikel beschäftigt sich mit Potenzreihen, die der Beschreibung von reellen oder komplexen Funktionen dienen. Für formale Potenzreihen siehe dort.

Unter einer Potenzreihe versteht man in der Analysis eine unendliche Reihe der Form

\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n

an ist hierbei eine beliebige Folge von reellen oder komplexen Zahlen. x0 wird als der Entwicklungspunkt der Potenzreihe bezeichnet.

Hinsichtlich der Konvergenz sind drei Fälle möglich: Die Reihe konvergiert entweder

  • nur für x = x0,
  • auf einem Intervall (reelle Zahlengerade) bzw. auf einer Kreisscheibe mit Mittelpunkt x0 (komplexe Ebene),
  • auf ganz \mathbb{R} bzw. \mathbb{C}.

Konvergenzradius

Als Konvergenzradius einer Potenzreihe an der Stelle x0 ist die größte Zahl r definiert, für welche die Potenzreihe für alle x mit | x − x0 | < r konvergiert.

Bei Potenzreihen lässt sich der Konvergenzradius r mit der Formel von Cauchy-Hadamard berechnen. Es gilt:

r = \frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}(\sqrt[n]{|a_n|})}

In vielen Fällen kann der Konvergenzradius einfacher auf folgende Weise berechnet werden:

r = \lim_{n\rightarrow\infty} \left| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \right|

Folgerungen aus dem Konvergenzradius:

|x-x_0|<r \Rightarrow die Potenzreihe ist absolut konvergent

|x-x_0|>r \Rightarrow die Potenzreihe ist divergent

|x-x_0|=r \Rightarrow ist jeweils separat zu untersuchen.

Beispiele

  • Jede Polynomfunktion lässt sich als Potenzreihe auffassen, wobei alle Koeffizienten an mit Ausnahme von endlich vielen gleich 0 sind.

e^x = \exp(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots

\ln(1+x) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \frac{\,x^k}{k} = x-\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} -\frac{x^4}{4} \pm \cdots

  • Wurzelfunktion :

\sqrt{1\pm x} = 1 \pm \frac{1}{2} x-\frac{1}{2\cdot4} x^2\pm\frac{1\cdot3}{2\cdot4\cdot6} x^3- \pm \cdots \quad \mathrm{f\ddot{u}r} \quad -1 < x < 1

  • Trigonometrische Funktionen :

\sin x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + ... + (-1)^n \cdot \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + ...
\cos x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + ... + (-1)^n \cdot \frac{x^{2n}}{(2n)!} + ...
\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} + \frac{17x^7}{315} + ... + \frac{2^{2n} \cdot \left( 2^{2n}-1 \right) }{(2n)!} \cdot B_{2n}\cdot x^{2n-1} + ... \quad \mathrm{f\ddot{u}r} \quad -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}

  • Hyperbelfunktionen:

\sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + ... + \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + ...
\cosh x = 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + ... + \frac{x^{2n}}{(2n)!} + ...
\tanh x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} - \frac{17x^7}{315} + ... + (-1)^{n-1} \cdot \frac{2^{2n} \cdot \left( 2^{2n}-1 \right) }{(2n)!} \cdot B_{2n}\cdot x^{2n-1} + ... \quad \mathrm{f\ddot{u}r} \quad -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}


Siehe auch: Laurentreihe, Taylorreihe, MacLaurinsche Reihe

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