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Phasenverschiebung

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Wenn bei zwei oder mehr periodisch ablaufenden Vorgängen mit gleicher Wiederholunghäufigkeit bzw. gleicher Frequenz der gleiche Zustand (z. B. Nullwert-Durchgang oder Maximalwert) zu jeweils einem zeitlich versetzten Moment auftritt, wird dieses als Phasenverschiebung bezeichnet.

Bild:Cap complex animation.gif
Phasenverschobene Spannung und Strom an einem Kondensator

Diese Erscheinung kann bei allen Vorgängen auftreten, bei denen überlagerte Schwingungen auftreten, so vor allem in der Elektrotechnik, der Elektroakustik, der Akustik und in der Schwingungs-Mechanik.

Inhaltsverzeichnis

Größenangabe der Phasenverschiebung

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Motor-Typenschild mit Angabe des "\cos \varphi" der Phasenverschiebung (rechts Mitte)

Ein vollständiger Periodenablauf einer Schwingung kann abstrakt als sich ständig wiederholender Kreisdurchlauf betrachtet werden. Damit wird die Periodendauer mit dem vollen Kreiswinkel von 360 Grad gleichgesetzt und das relative Maß der Phasenverschiebung als Winkel Δφ angegeben. Dieser Winkel wird auch Phasendifferenz oder Phasenwinkel genannt und wird meistens in Grad oder als Perioden-Bruchteil angegeben, z. B. meinen die Angaben „90 Grad“, „π/2“ und „eine Viertelperiode“ den gleichen Betrag der Phasenverschiebung.
Es ist auch möglich, das Maß der Phasenverschiebung in absoluten Zeiteinheiten oder als Längenmaß anzugeben wenn bei dem Vorgang ein räumlicher Weg zurückgelegt wird, z. B. bei einem Lichtstrahl.

Die Veranschaulichung von phasenverschobenen Schwingungen als zwei gegeneinander versetzt mit gleicher Geschwindigkeit rotierende Zeiger führt auch zu der Begrifflichkeit von Nacheilwinkeln oder Voreilwinkeln gegenüber der Bezugsschwingung. So eilt in dem nebenstehenden Bild der Symbolzeiger für den Strom „I“ dem Symbolzeiger für die Spannung „U“ um 90 Grad vor.

In der elektrotechnischen Maschinenbaupraxis und für mathematische Beschreibungen wird aus Zweckmäßigkeitsgründen die Phasenverschiebung als Kosinus des Verschiebungswinkels \varphi (phi), also \cos \varphi, angegeben. Der "\cos \varphi" ist auf jedem Wechselstrommotor-Leistungsschild angegeben und dient hier zur Berechnung des Blindstrom-Anteils am Gesamtstrom.

Veranschaulichung und Messung der Phasendifferenz

Mit geeigneten Oszillographen bzw. Oszilloskopen können zwei oder mehr gegeneinander zeitlich verschobene Schwingungen als einzelne Kurven unmittelbar sichtbar gemacht werden. Der zeitliche Abstand der Phasenverschiebung lässt sich zudem an einem Gitter-Raster auf der Bildschirmröhre oder dem Aufzeichnungspapier direkt ablesen.

Bild:Zeigerdiagramm.jpg
Geometrische Darstellung im Zeigerdiagramm

Legt man an den x- und an den y-Eingang eines einfachen Oszilloskops bei abgeschalteter Zeitablenkung jeweils eine Wechselspannung an, so erscheint eine sogenannte Lissajous-Figur. Deren Form erlaubt Rückschlüsse auf die Phasenverschiebung der beiden Spannungen. Bei gleicher Phasenlage und Frequenz entsteht ein schräger Strich, bei zunehmender Phasenverschiebung eine schräge elliptische Figur, die bei einer Gegenläufigkeit (Phasenverschiebung von 180°) je nach Größe der Schwingungsamplituden zur aufrechten oder horizontalen Ellipse, oder bei gleichen Amplituden zum Kreis wird.

Das Zeigerdiagramm ermöglicht eine einfache quantitative Darstellung von Phasenverschiebungen. Dabei kann auch dargestellt werden, welche Wirkung unterschiedliche Amplitudengrößen (= Länge des Zeigers) zweier phasenverschobener Strömen auf den ideellen Phasenwinkel des resultierenden Scheinstroms haben.

Elektrotechnik

In der Elektrotechnik spricht man allgemein von einer Phasenverschiebung, wenn in einem Wechselstromkreis mehrere Wechselgrößen mit unterschiedlichen Nullphasenwinkeln auftreten. Der Nullphasenwinkel bezieht sich dabei prinzipiell auf \varphi_{0}= 0. Dies kann z. B. auftreten, wenn der Wechselstromkreis von unterschiedlichen Quellen angetrieben wird bzw. wenn man an einem Vierpol Ein- und Ausgangssignal gegenüberstellt. Die Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung an einem Zweipol ist ein spezielles Phänomen, das auftritt, wenn ein mit Wechselstrom betriebener Zweipol induktive oder kapazitive Eigenschaften besitzt.
Diese Erscheinung erklärt sich daraus, dass Bauteile mit induktiven Komponenten eine den Strom „bremsende“ und Bauteile mit kapazitiven Komponenten eine „saugende“ Wirkung gegenüber der sich ändernden Wechselspannung ausüben.
Am idealen Kondensator eilt der Strom der Spannung um 90° voraus, an der Spule bzw. Induktivität hinkt er ihr um 90° nach.

Weiterführende Erklärungen hierzu: siehe Impedanz

Bild:Sinus-kap.jpg
Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung durch „kapazitive Belastung“
Bild:Sinus-ind.jpg
Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung durch „induktive Belastung“
Bild:Spannungsverlauf Dreiphasen-Wechselstrom.gif
Dreiphasenwechselstrom besteht aus drei um je 120° gegeneinander versetzt schwingenden Wechselströmen

Hochfrequenztechnik

Hier wird die Phasenverschiebung zur Phasenmodulation verwendet. Im zweiseitigen Frequenzspektrum bedeutet das, dass die Spektrallinie der Trägerfrequenz um die Frequenzachse rotiert werden und somit auf verschiedene Punkte in dem umschreibenden Kreis zeigen kann. Damit können Daten kodiert werden.

Akustik bzw. Tontechnik

Werden zwei oder mehrere Schallwellen gleicher Frequenz überlagert, so ergibt sich als resultierendes Signal je nach Phasenwinkel ein entweder verstärktes oder gedämpftes Signal. Eine solche Überlagerung wird Interferenz genannt und ist ortsabhängig: Je nach Abstand und Position der Quellen ergeben sich an unterschiedlichen Betrachterpostionen alle möglichen Kombinationen von Verstärkungen und Abschwächungen.

Es ergibt sich beispielsweise für eine feste Verzögerung von Δ t = 0,5 ms folgende frequenzabhängige Phasenverschiebung \varphi^\circ:

\varphi^\circ \varphi_{\rm Bogen} f λ
360° 2π 2000 Hz 0,1715 m
180° π 1000 Hz 0,3430 m
90° π / 2 500 Hz 0,6860 m
45° π / 4 250 Hz 1,372 m
22,5° π / 8 125 Hz 2,744 m
11,25° π / 16 62,5 Hz 5,488 m
Wellenlänge λ = c / f
Schallgeschwindigkeit c = 343 m/s bei 20 °C

Zum akustischen Zusammenhang von Phasenverschiebung \varphi und Laufzeitdifferenz bei Stereofonie, Δ t siehe Laufzeitstereofonie. Mit digitaler Signalverarbeitung ist es heute möglich, die Phasenlage der verschiedenen Lautsprechern zugeführten Signale zu verstellen und damit die Tonabstrahlung zu steuern.

Mathematische Beschreibung

Der einfachste Fall einer Schwingung ist die harmonische Schwingung. Mathematisch lässt sie sich folgendermaßen beschreiben:

x(t) = \hat{x}\cdot\sin\left(\omega\,t + \varphi_0 \right) \,

wobei x(t) die Auslenkung zur Zeit t, \hat x die Amplitude (Maximalwert der Auslenkung) und ω die Kreisfrequenz darstellen. \varphi_0 bezeichnet Nullphasenwinkel.

Im Folgendem wird am Beispiel einer sinusförmigen Wechselspannung die Phasenverschiebung gezeigt.

u(t) = \hat u \cdot sin(\omega \cdot t + \varphi_{u}) = \hat u \cdot e^{j (\omega \cdot t + \varphi_{u})} \,

wobei u(t) die Spannung zur Zeit t, \hat u die Spitzenspannung und ω die Kreisfrequenz darstellen. \varphi_{u} bezeichnet Nullphasenwinkel der Spannung.

Analog dazu lässt sich der elektrische Strom darstellen:

i(t) = \hat i \cdot sin(\omega \cdot t + \varphi_{i}) = \hat i \cdot e^{j (\omega \cdot t + \varphi_{i})} \,

Die Phasenverschiebungswinkel \Delta \varphi oder \varphi_z ist nun die Differenz der Phasen beider Schwingungen:

\Delta \varphi = \varphi_{u} - \varphi_{i} \,

Ist der Phasenverschiebungswinkel gleich Null, sind beide Schwingungen phasengleich.

Beispiel ideale Spule

Eine ideale Spule wird einem sinusförmigen Wechselstrom i(t) durchflossen:

i(t) = \hat i \cdot sin(\omega t + \varphi_{i}) \,

Zwischen Strom und Spannung besteht an einer Spule der Zusammenhang:

u(t) = L \cdot \frac{\mathrm{d} i(t)}{\mathrm{d}t} \,

Daraus folgt:

u(t) = L \cdot \frac{\mathrm{d} \hat i \cdot sin(\omega t + \varphi_{i})}{\mathrm{d}t} = \omega L \cdot \hat i \cdot cos(\omega t + \varphi_{i}) \,
u(t)= \hat u \cdot sin(\omega t + \varphi_{u}) = \omega L \cdot \hat i \cdot sin(\omega t + \varphi_{i} + 90^\circ)

Eine vorgegebene sinusförmige Spannung verursacht also einen Strom mit gleicher Kurvenform. Allerdings sind die Augenblickswerte von Spannung und Strom nicht mehr phasengleich.

\varphi_u= \varphi_i + \frac{\pi}{2}\, bzw: \varphi_i= \varphi_u - \frac{\pi}{2}\,

Phasenverschiebungswinkel:

\Delta \varphi = \varphi_{u} - \varphi_{i} \, = \frac{\pi}{2}

Der Strom eilt um den Phasenverschiebungswinkel 90° nach

Eine ausführlichere Beschreibung findet sich im Artikel Spule (Elektrotechnik).

Zusammenhang zwischen Phasenwinkel und Phasenlaufzeit

Der Zusammenhang zwischen dem Phasenwinkel \varphi_{\rm Bogen} im Bogenmaß und der Laufzeitdifferenz Δt ist:

\varphi_{\rm Bogen} = \omega \cdot \Delta t = 2 \pi \cdot f \cdot \Delta t \,

bzw.

\Delta t = \frac{\varphi_{\rm Bogen}}{\omega} \, = \frac{\varphi_{\rm Bogen}}{2 \pi \cdot f} \,

Der Zusammenhang zwischen dem Phasenwinkel \varphi^\circ im Gradmaß und der Laufzeitdifferenz Δt ist:

\varphi^\circ = 360^\circ \cdot f \cdot \Delta t \,

bzw.

\Delta t = \frac{\varphi^\circ}{360 \cdot f} \,

Hierbei ist \varphi_{Bogen} bzw. \varphi^\circ der Phasenwinkel und Δt die Laufzeitdifferenz. Die Kreisfrequenz \omega = 2 \pi f = 360^\circ \cdot f, denn 2 \pi = 360^\circ.

Andere Gebiete

In der Bautechnik wird mit Phasenverschiebung der Zeitraum zwischen dem Auftreten der höchsten Temperatur auf der Außenoberfläche eines Bauteils bis zum Erreichen der höchsten Temperatur auf dessen Innenfläche bezeichnet.

In der Optik werden Linsen entspiegelt, indem eine dünne Schicht auf der Glasoberfläche eine Doppelreflexion erzeugt, die bei einer bestimmten Wellenlänge eine Phasenverschiebung der beiden Reflexionen von 1/2 erreicht. Üblicherweise wird die Schichtdicke auf die Wellenlänge des gelben Lichts (etwa 600 nm) eingestellt.

Siehe auch

Weblinks

Von „http://www.kefk.org/wiki/Phasenverschiebung“
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