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Pauli-Matrizen

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(Weitergeleitet von Pauli-Matrix)

Die Pauli-Matrizen $σ i$ sind ein Satz von komplexen 2×2–Matrizen, die nach dem Physiker Wolfgang Pauli benannt sind. Mit ihnen kann der Spin der Elektronen beschrieben werden. Der Spin-Operator ist definiert als $S_i = \frac{\hbar}{2} \sigma _i$ und ermöglicht es, Elektronen als 2-komponentige Weyl-Spinoren darzustellen.

Die Pauli-Matrizen lauten

$\sigma _ 1 = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad \sigma _ 2 = \begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix} \qquad \sigma _ 3 = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

Sie gehorchen der Drehimpulsalgebra

$\sigma_i \, \sigma_j = I_2 \delta_{ij} + i\, \epsilon_{ijk} \sigma_k \;$ ,

$[ \sigma_i ,\, \sigma_j ] = 2i\, \epsilon_{ijk}\; \sigma_k$

Mathematisch bedeutet dies, dass die Pauli-Matrizen eine komplex 2-dimensionale Darstellung der Clifford-Algebra $Cl(0,3,\mathbb R)$ erzeugen. Diese ist der gerade Anteil der Clifford-Algebra $Cl(1,3,\mathbb R),$ die die quantenphysikalisch bedeutsame Spin(1,3)-Gruppe, die Spin-Gruppe der Lorentz-Transformationen, enthält.

Die drei Matrizen $-i\,\sigma_k$ und ihre reellen Vielfachen erzeugen die Quaternionen-Algebra. Dabei entspricht $-i\,\sigma_3$ der imaginären quaternionischen Einheit i, $-i\,\sigma_1$ entspricht j und $-i\,\sigma_2$ entspricht k, wenn die Quaternionen als $\begin{pmatrix}z^1\\z^2\end{pmatrix}\mapsto kz^1+z^2$ parametrisiert werden.