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PT2-Glied

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Als PT2-Glied bezeichnet man ein LZI-Übertragungsglied in der Regelungstechnik, welches ein proportionales Übertragungsverhalten mit Verzögerung 2. Ordnung aufweist. Gebräuchliche Beispiele sind in der Elektrotechnik der L-C-R-Schwingkreis und im Maschinenbau das Feder-Masse-System.

Die zugehörige Funktionalbeziehung im Zeitbereich ist die Differentialgleichung

T^2 \ddot{y}(t) + 2 d T \dot{y}(t) + y(t) = K u(t),

so dass die komplexe Übertragungsfunktion im Bildbereich die Form

G(s) = \frac{K}{1 + 2 d T s + T^2 s^2}

hat. Hierbei bezeichnet K, K > 0, die Übertragungskonstante bzw. den Verstärkungsfaktor, T , T > 0, die Zeitkonstante und d, d > 0, die dimensionslose Dämpfung.

Inhaltsverzeichnis

Bodediagramm

Beim PT2-Glied ist G(j\omega) = \frac{K}{1 + 2 d T j\omega - T^2 \omega^2} der Frequenzgang. Daher gilt für den Amplituden- und Phasengang im Bodediagramm:

|G(j\omega)| = \frac{K}{\sqrt{(1 - T^2 \omega^2)^2 + (2 d T \omega)^2}}
\varphi(\omega) = -\arctan \left( \frac{2 d T \omega}{1 - T^2 \omega^2} \right)

Die folgende Abbildung zeigt den Amplituden- und Phasengang. Typisch für ein PT2-System ist der Abfall der Amplitude um 40 dB je Dekade. Auch ist die Phasenverschiebung von 180° kennzeichnend. An der Überhöhung im Amplitudengang kann man erkennen, dass für die Dämpfung d 0 < d < 1 gelten muss, keine Überhöhung also wenn d gleich 0 oder gleich 1 ist. Bei der Resonanzfrequenz ist die Phasenverschiebung 90°.

Bild:Bode-pt2-var.png
Bodediagramm eines PT2-Gliedes (K = 2, T = 1, d = 0.2; 1; 5)

Sprungantwort

Zur Beschreibung der Sprungantwort des PT2-Gliedes ist eine Fallunterscheidung erforderlich:

  • d > 1, aperiodischer Fall
    a(t) = K - \frac{K}{T_1 - T_2} \left[ T_1 \mathrm{e}^{- \frac{t}{T_1}} - T_2 \mathrm{e}^{- \frac{t}{T_2}}\right]
    mit T_{1,2} = T \left( d \pm \sqrt{d^2 - 1} \right)
    Bei einem stark gedämpften System nähert sich die Sprungantwort dem Wert des Verstärkungsfaktors ohne Überschwingen an.
  • d < 1, periodischer Fall
    a(t) = K - \frac{K}{\sqrt{1 - d^2}} \mathrm{e}^{-\frac{d}{T}t} \cdot \sin \left[ \frac{\sqrt{1 - d^2}}{T} t + \arctan \frac{\sqrt{1 - d^2}}{d} \right]
    Bei einem schwach gedämpften System nähert sich die Sprungantwort dem Wert des Verstärkungsfaktors erst nach Abklingen der Schwingungen an. Die Schwingungen werden von einer weiteren e-Funktion eingehüllt.
  • d = 1, aperiodischer Grenzfall
    a(t) = K - K \left[ 1 + \frac{t}{T} \right] \mathrm{e}^{- \frac{t}{T}}
    Der Verlauf der Sprungantwort ist ähnlich dem aperiodischen Fall mit dem Zusatz, dass es bezüglich der Anregel- und Ausregelzeit minimale Werte annimmt (ohne Überschwingen).
Bild:Step-pt2-var.png
Sprungantwort eines PT2-Gliedes (K = 2, T = 1, d = 0.2; 1; 5)

Ortskurve

Die Ortskurve (0 \leq \omega \leq \infty) des PT2-Gliedes verläuft vom Punkt K auf der positiven reellen Achse in Abhängigkeit von der Dämpfung d durch den vierten und dritten Quadranten für \omega \to \infty aus Richtung der negativen reellen Achse in den Punkt 0.

Bild:Nyquist-pt2-var.png
Ortskurve eines PT2-Gliedes (K = 2, T = 1, d = 0.2; 1; 5)

Siehe auch

Weblinks

Wikipedia
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