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Ortsoperator

Aus Kefk.

Der Ortsoperator ist das mathematische Objekt, das in der Quantenmechanik die Messung der Position eines Teilchens beschreibt.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Ortsdarstellung
3 Darstellung mit Erschaffungs -und Vernichtungsoperator
4 Eigenschaften

Definition

Einem physikalischen System (Teilchen) wird je nach Präparation ein Zustandsvektor $Ψ$ zugewiesen. Solch ein Zustandsvektor ist Element eines Hilbertraumes H und die Observablen werden durch selbstadjungierte lineare Operatoren auf diesem Raum dargestellt. Speziell ist der Ortsoperator die Zusammenfassung der drei Observablen $\hat{\mathbf{x}}=(\hat{x}_1,\hat{x}_2,\hat{x}_3)$ , so dass der Wert

$E(\hat{x}_i)=\langle \Psi|\hat{x}_i \Psi\rangle$

den Mittelwert (Erwartungswert) der Messergebnisse bei Messung der i-ten Koordinate der Position des Teilchens im Raum beschreibt.

Ortsdarstellung

In der so genannten Ortsdarstellung ist der Hilbertraum H der Raum der quadratintegrablen Funktionen über dem Ortsraum. Ein Zustandsvektor $Ψ$ wird in diesem Fall durch die Wellenfunktion $\psi(\mathbf{x})$ beschrieben. Die Operatoren $\hat{\mathbf{x}}=(\hat{x}_1,\hat{x}_2,\hat{x}_3)$ , die die obige Gleichung erfüllen sind in diesem Fall einfach die Multiplikationsoperatoren mit den Koordinatenfunktionen. D.h. die abstrakte Anwendung des Ortsoperators $\hat{x}_i \Psi$ wird konkret durch die Multiplikation der Wellenfunktion mit den Koordinatenfunktionen $x_i \psi(\mathbf{x})$ ausgedrückt.

Der Erwartungswert berechnet sich dann durch:

$E(\hat{x}_i)=\iiint \overline{\psi(\mathbf{x})}x_i \psi(\mathbf{x})\, \mathrm d^3 x.$

Darstellung mit Erschaffungs -und Vernichtungsoperator

bei der Beschreibung des Harmonischen Oszillators erweist sich die Darstellung mit Erschaffungs -und Vernichtungsoperator als Praktisch:

$x = \sqrt{\frac{\hbar}{2m{\omega}}}(a+a^{\dagger})$

Eigenschaften

Wir beschränken uns hier auf den eindimensionalen Fall.

Der Ortsoperator ist ein selbstadjungierter Operator, dessen Spektrum (Bereich der möglichen Messwerte) die gesamte reelle Achse umfasst.
Das Spektrum ist also rein kontinuierlich und nicht entartet.
Hat das System keine anderen Freiheitsgrade (zusätzliche Dimensionen im Ortsraum oder innere Freiheitsgrade, d.h. Spin), so ist jeder andere Operator, der mit dem Ortsoperator vertauscht, eine Funktion des Ortsoperators:

$[A,\hat{x}]=0 \iff A=f(\hat{x}).$

Insbesondere gilt für den Impulsoperator die kanonische Vertauschungsrelation

$[\hat{p},\hat{x}]= \frac{\hbar}{i} \mathbf{1}.$

Die Ortsdarstellung ist durch die Spektraldarstellung des Ortsoperators definiert: es ist die Darstellung

$\mathbf{H} \to L^2(\mathbb{R})$ ,

in der der Ortsoperator als Multiplikationsoperator mit den Koordinatenfunktionen

x i

dargestellt wird. Um diese Darstellung allerdings eindeutig zu machen, muss eine lokale Phasenfunktion

γ(x) = e i λ(x)

gewählt werden (hier besteht ein Zusammenhang mit der so genannten Eichinvarianz, z.B. in der Elektrodynamik).

In der so genannten Impulsdarstellung wird der Impulsoperator, der in Ortsdarstellung durch den Differentialoperator $\hat{p}=\frac{\hbar}{i}\frac{\mathrm d}{\mathrm d x}$ dargestellt wird, multiplikativ, d.h. $\hat{p}=p$ . Der Ortsoperator hat dann die Darstellung $\hat{x}= {-} \frac{\hbar}{i}\frac{\mathrm d}{\mathrm dp}$ .