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Orthonormalität

Aus Kefk.

Als orthonormal (genauer: zueinander orthonormal) werden in der Mathematik Vektoren bezeichnet, die zueinander orthogonal sind und alle die Norm (anschaulich: Länge) eins besitzen. Eine Basis eines Vektorraums aus orthonormalen Vektoren bildet eine sogenannte Orthonormalbasis; für je 2 Vektoren $v i, v j$ daraus gilt stets $\langle v_i, v_j\rangle = \delta_{ij}$ mit dem Kronecker-Delta $δ i j$ .

Bei einer Matrix, die aus orthonormalen Vektoren besteht, ist die Inverse gleich der Transponierten: $A T = A - 1$ .

Beispiele

Die Standardbasis (kanonische Basis) des dreidimensionalen Raumes $\R^3$ – das ist die Basis mit der Darstellung {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0 , 1)} – ist orthonormal:

$\left\\|e_1\right\\| = \left\\|e_2\right\\| = \left\\|e_3\right\\| = 1$	(jeder Vektor für sich ist normiert)
$\langle e_1,e_2\rangle = \langle e_1,e_3\rangle = \langle e_2,e_3\rangle = 0$	(alle Vektoren sind paarweise zueinander orthogonal)