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Optischer Doppler-Effekt

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Beim optischen Doppler-Effekt handelt es sich um die Frequenzverschiebung von elektromagnetischer Strahlung, die durch die Relativgeschwindigkeit zwischen Lichtquelle und Empfänger bewirkt wird.

Bei sich verringerndem Abstand erhöht sich die Frequenz der Strahlung, wobei das Farbspektrum ins Blaue verschoben wird. Man spricht von der sogenannten Blauverschiebung. Bei sich vergrößerndem Abstand verringert sich die Frequenz der Strahlung, und es kommt zu einer Rotverschiebung. Letztere hat in der Astronomie eine große Bedeutung erlangt.

Inhaltsverzeichnis

Funktionsweise

Im Folgenden wird gezeigt, wie sich der optische Doppler-Effekt mit Hilfe des Minkowski-Raumes (siehe Lorentz-Transformation und Minkowski-Raum) veranschaulichen lässt und wie sich die einschlägigen Gesetze herleiten lassen.

Wir betrachten zwei relativ zueinander mit der Geschwindigkeit v bewegte Bezugssysteme S (schwarz) und S' (rot) im Minkowski-Raum. Irgendeines der beiden Systeme (hier S) stellen wir rechtwinklig dar. Wie üblich ist w = ct.

Bild:Optdo01.png


Ein kontinuierlicher monochromatischer Lichtstrahl bewege sich längs der X-Achse nach rechts. Aus dem Lichtstrahl greife ich einen Wellenzug von gerade einer Wellenlänge λ heraus. Das Ende dieses Wellenzuges befinde sich zur Zeit t = 0 gerade in O.

Im Minkowski-Raum bewegt sich der Wellenzug auf der Winkelhalbierenden der Achsen der Bezugssysteme, also unter dem Winkel 45° nach rechts oben. Die Punkte am Anfang, in der Mitte und am Ende des Wellenzuges sind durch hellblaue Punkte dargestellt. Ihre Weltlinien sind hellblaue Linien; die Weltlinien der übrigen Punkte des Wellenzuges bilden einen hellblauen Doppelstreifen.

Im System S (schwarz) stellt sich die Wellenlänge λ als die Strecke OA dar, im System S' (rot) als die Strecke OB. Es ist also x(A) = λ und x'(B) = λ'. Offensichtlich ist λ' > λ. Die Koordinaten des Punktes B im System S sind (λ + cΔt;cΔt). Daraus kann x'(B) = λ' berechnet werden: Aus der Gleichung

x' = \frac {x - v t} {\sqrt{1 - \beta^2}}

der Lorentz-Transformationen ergibt sich mit x' = x'(B) = λ',x = λ + cΔt und t = Δt:

\lambda' = \frac {\lambda + c \Delta t - v \Delta t} {\sqrt{1 - \beta^2}} = \frac {\lambda + (c - v) \Delta t} {\sqrt{1 - \beta^2}}

Gemäß Abbildung ist

\frac {c \Delta t} {\lambda + c \Delta t} = \tan \alpha = \frac {v} {c} =: \beta

und folglich

c \Delta t = \frac {v} {c} (\lambda + c \Delta t)
(c - v) \Delta t = \frac {v} {c} \lambda = \beta \lambda

Oben eingesetzt ergibt:

\lambda' = \lambda \frac {1 + \beta} {\sqrt{1 - \beta^2}} = \lambda \sqrt { \frac { (1 + \beta)^2 } { (1 + \beta)(1 - \beta)} } = \lambda \sqrt { \frac {1 + \beta} {1 - \beta} }

Mit λ' = c / f' und λ = c / f ergibt sich:

\frac {c} {f'} = \frac {c} {f} \sqrt { \frac {1 + \beta} {1 - \beta} }

und schließlich

f = f' \sqrt { \frac {1 + \beta} {1 - \beta} }

Bewegt sich das System S' gegenüber dem System S nach links, dann ist v durch ( − v) bzw. β durch ( − β) zu ersetzen. Damit ist die grundlegende Formel für den optischen Doppler-Effekt hergeleitet, und zwar unabhängig davon, in welchen Systemen sich die Lichtquelle Q bzw. der Empfänger E befinden. Darüber kann beliebig verfügt werden, woraus sich dann die verschiedenen Fälle ergeben.

1. Fall: Lichtquelle Q in S'

E befindet sich dann in S (allgemein: immer im jeweils anderen System). Da der betrachtete Wellenzug von links kommt, liegt auch Q links und bewegt sich auf E zu. Die Frequenz f' ist dann identisch mit der Quellenfrequenz fQ, die Frequenz f identisch mit der vom Empfänger wahrgenommenen Frequenz fE. Also gilt für den Fall, dass sich Q auf E (oder E auf Q) zu bewegt:

f_E = f_Q \sqrt { \frac {1 + \beta} {1 - \beta} }

2. Fall: Lichtquelle Q in S

In diesem Fall bewegt sich E von Q (oder Q von E) weg. Die Quellenfrequenz fQ ist dann identisch mit f, und die empfangene Frequenz fE ist identisch mit f'. Also ist:

f_Q = f_E \sqrt { \frac {1 + \beta} {1 - \beta} }

und

f_E = f_Q \sqrt { \frac {1 - \beta} {1 + \beta} }

Dieses Ergebnis erweist sich als gleichwertig mit der Formel für den 1. Fall, wenn man bedenkt, dass sich S gegenüber S' nach links bewegt und daher v durch (-v) bzw. β durch (-β) ersetzt werden muss.

Bild:SPEREL-2 relativistischer Dopplereffekt.jpg
Relativistischer Dopplereffekt und Geschwindigkeit

3. Fall: Lichtquelle Q bewegt sich quer zum Empfänger E

Bewegt sich ein Objekt quer zum Beobachter in sehr großer Entfernung (zum Beispiel ein bewegter Stern), so ändert sich seine Entfernung zu ihm in erster Näherung nicht; dementsprechend würde man hier auch keinen Dopplereffekt erwarten. Jedoch besagt die Relativitätstheorie, dass jedes Objekt aufgrund seiner Bewegung einer Zeitdilatation unterliegt, aufgrund der die Frequenz ebenfalls verringert wird. Diesen Effekt bezeichnet man als transversalen Dopplereffekt. Die Formel hierfür lautet

f' = f\sqrt{1-\beta^2}

Der transversale Dopplereffekt kann bei nicht-relativistischen Geschwindigkeiten (also Geschwindigkeiten weit unter der Lichtgeschwindigkeit) allerdings vernachlässigt werden.

Bild:SPEREL-5 Dopplereffekt und Richtung.jpg
Relativistischer Dopplereffekt und Richtung

4. Fall: Lichtquelle Q bewegt sich im Winkel α zum Empfänger E

Wenn man für den Winkel α entweder 0°, 90°, oder 180° einsetzt, dann erhält man die oben stehenden Gleichungen. α ist hier der Winkel, unter dem der Beobachter den Lichtstrahl sieht; dieser Winkel ist aufgrund der Aberration nicht der selbe wie der tatsächliche Winkel zwischen Bewegungsrichtung und Verbindungslinie Lichtquelle - Empfänger.

f_E = f_Q \frac { \sqrt { 1 - \beta^2 } } { 1 - \beta \cos \alpha }


Weblinks

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