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Nullteiler

Aus Kefk.

In der Algebra ist ein Nullteiler eines kommutativen Ringes $R$ ein vom Nullelement verschiedenes Element $a$ , für das es ein Element $b$ ungleich 0 gibt, so dass $a b = 0$ .

Ist $R$ ein nichtkommutativer Ring und $a \ne 0$ , dann unterscheidet man stattdessen zwischen:

Linksnullteiler: es gibt ein Element $b \ne 0$ , so dass $a b = 0$
Rechtsnullteiler: es gibt ein Element $b \ne 0$ , so dass $b a = 0$
(beidseitiger) Nullteiler: es gibt Elemente $b, c \ne 0$ , so dass $a b = 0, c a = 0$ .

Ein Ring ohne einseitige oder beidseitige Nullteiler heißt nullteilerfrei.

Ein nullteilerfreier kommutativer Ring mit 1 heißt Integritätsring.

Beispiele

Der Ring $\mathbb{Z}$ der ganzen Zahlen ist nullteilerfrei, der Ring $\mathbb{Z}^2$ (mit komponentenweiser Addition und Multiplikation) enthält die Nullteiler $(0,1)$ und $(1,0)$ , denn $(0, 1) \cdot (1, 0) = (0, 0)$ .

Jeder Körper ist nullteilerfrei.

Der Restklassenring $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ hat die Nullteiler 2, 3 und 4, denn $2 \cdot 3 \equiv 4 \cdot 3 \equiv 0 \mod 6$ .

Allgemein ist für eine natürliche Zahl $n > 1$ der Restklassenring $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ genau dann nullteilerfrei (sogar ein Körper), wenn $n$ eine Primzahl ist.

Der Ring der reellen 2x2-Matrizen enthält den Nullteiler

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$

denn

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$

Allgemein sind die Nullteiler im Ring der n-mal-n-Matrizen über einem Körper oder Integritätsring genau die Matrizen mit Determinante 0 (hier gibt es trotz fehlender Kommutativität keinen Unterschied zwischen Links- und Rechtsnullteilern).

Eigenschaften

Idempotente Elemente ungleich 1 eines Rings sind Nullteiler, denn aus $a 2 = a$ folgt $a \cdot (a - 1) = (a - 1) \cdot a = 0$ . Nilpotente Elemente ungleich 0 ( $x$ mit $x n = 0$ für ein $n \in \mathbb{N}$ ) sind trivialerweise Nullteiler.

Nullteiler sind keine Einheiten, denn wäre $a$ invertierbar und $a b = 0$ , dann wäre $0= a^{-1} \cdot 0 = a^{-1}ab = b$ .

In einem nichtkommutativen Ring mit Einselement ( $1 \cdot a = a \cdot 1 = a$ für alle $a$ ) gilt diese Aussage nur so: Ein Linksnullteiler hat kein Linksinverses. Jedoch kann ein Linksnullteiler ein Rechtsinverses haben. Analoges gilt für Rechtsnullteiler. (Ein beidseitiger Nullteiler hat demnach auch hier kein Inverses.)

Ist $a$ ein Linksnullteiler, dann ist offensichtlich für jedes $b$ das Produkt $b a$ ebenfalls ein Linksnullteiler oder gleich Null. Das Produkt $a b$ muss aber kein Links- oder Rechtsnullteiler sein (siehe dazu das Beispiel des Matrixrings $R$ im Artikel Einheit (Mathematik), dessen Elemente $A$ und $B$ einseitige Nullteiler sind, die jeweils einseitige Inverse voneinander sind, da $A B = E$ die Einheitsmatrix ist).