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Normierter Raum

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Dieser Artikel erklärt neben den gleichbedeutenden Begriffen normierter Raum und normierter Vektorraum per Weiterleitung auch die Begriffe Norm (Mathematik), Vektornorm, Halbnorm, Operatornorm, Matrixnorm und Frobeniusnorm.

normierter Raum

berührt die Spezialgebiete

Mathematik

hat die Eigenschaften von

umfasst als Spezialfälle

Der mathematische Begriff der Norm ist die Verallgemeinerung des geometrischen Begriffs der Länge eines Vektors. Eine Norm ist eine Funktion, die jedem Element eines Vektorraums eine nichtnegative reelle Zahl zuordnet und eine Reihe weiterer Eigenschaften (unter anderem die Dreiecksungleichung) erfüllt. Der Vektorraum, auf dem die Norm definiert ist, wird dann normierter Raum oder auch normierter Vektorraum genannt.

Dieser Normbegriff unterscheidet sich wesentlich vom Begriff der Norm in der Körpertheorie, er wird daher manchmal auch Vektornorm im Gegensatz zur Körpernorm genannt.

Formale Definition

Spezialfall reelle und komplexe Vektorräume

Sei V ein Vektorraum über dem Körper $\Bbb K$ der reellen oder komplexen Zahlen. Eine Funktion $\|\cdot\|: V\to\R_{\geq 0}$ in die nichtnegativen reellen Zahlen heißt Norm auf V, wenn für alle Vektoren $x,y\in V$ und alle Skalare $\alpha\in\Bbb K$ die folgenden axiomatischen Bedingungen erfüllt sind:

$\|x\| = 0 \;\Leftrightarrow\; x = 0$ (Definitheit);
$\|\alpha\cdot x\| = |\alpha|\cdot\|x\|$ (Homogenität);
$\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|$ (die Dreiecksungleichung).

Ein Vektorraum mit einer Norm heißt normierter Vektorraum oder normierter Raum.

Allgemeiner Fall

Den Begriff einer Norm kann man wesentlich allgemeiner betrachten, indem man den Vektorraum V allgemeiner durch einen Modul M ersetzt:

Sei $M$ ein $R$ -(Links)-Modul über einem unitären Ring mit Betrag $(R, |\cdot|)$ . Eine Funktion $\|\cdot\|: M\to\R_{\geq 0}$ in die nichtnegativen reellen Zahlen heißt Norm auf M, wenn für alle $x,y\in M$ und alle Skalare $\alpha\in R$ die folgenden axiomatischen Bedingungen erfüllt sind:

$\|x\| = 0 \;\Leftrightarrow\; x = 0$ (Definitheit);
$\|\alpha\cdot x\| = |\alpha|\cdot\|x\|$ (Homogenität);
$\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|$ (die Dreiecksungleichung).

Bemerkungen

Wenn auf die Definitheit (Bedingung 1.) verzichtet wird, dann ist $\|\cdot\|$ nur eine Halbnorm. Aus einem Raum mit Halbnorm erhält man einen normierten Raum als Faktorraum. Dazu werden Elemente $x$ und $y$ miteinander identifiziert, die $\|x-y\|=0$ erfüllen.
Aus der Homogenität folgt $\|0\|=0$ (d.h. in 1. gilt sogar $\Leftrightarrow$ ) und $\|{-x}\|=\|x\|$ .
Wenn im Grundring R der Betrag durch einen Pseudobetrag ersetzt wird (d.h. die Multiplikativität von $|\cdot|$ zur Submultiplikativität abgeschwächt wird) und im Modul M die Homogenität von $\|\cdot\|$ zur Subhomogenität abgeschwächt wird, erhält man den Begriff der Pseudonorm. Subhomogenität bedeutet, dass $\|\alpha\cdot x\| \leq |\alpha|\cdot\|x\|$ für alle Vektoren $x$ und jeden Skalar $α$ gilt.

Einordnung

Jede Norm induziert durch

$d(x,y) := \|x-y\|$

eine Metrik. Damit ist jeder normierte Raum auch ein metrischer Raum, und damit wiederum auch ein topologischer Raum und ein Hausdorff-Raum.

Eine Norm kann, muss aber nicht durch ein inneres Produkt (Skalarprodukt) $\langle\cdot,\cdot\rangle$ definiert sein. Jeder Innenproduktraum ist mit

$\|x\|:=\sqrt{\langle x,x\rangle}$

ein normierter Raum.

Ein normierter Raum heißt vollständig, wenn in ihm jede Cauchy-Folge konvergiert (das schließt ein, dass der Grenzwert der Cauchy-Folge sich in diesem Raum befindet). Ein vollständiger normierter Raum heißt Banachraum, und ein vollständiger normierter Innenproduktraum heißt Hilbertraum.

Äquivalenz von Normen

Zwei Normen $N 1$ und $N 2$ heißen äquivalent, wenn es positive Konstanten $c 1, c 2$ mit

$c_1 N_2(x)\leq N_1(x)\leq c_2 N_2(x)$ für alle

x

gibt. Äquivalente Normen induzieren dieselbe uniforme Struktur und damit erst recht dieselbe Topologie.

Auf dem $\R^n$ sind alle Normen äquivalent.

Betragsnormen

Normen auf Körpern (siehe z.B. p-adische Zahlen) sind die absoluten Beträge.

Vektornormen

p-Normen

Für endlichdimensionale Räume $\Bbb K^n$ sind die so genannten p-Normen definiert als:

Parser-Fehler (Unbekannter Fehler\biggl): \|x\|_p := \biggl(\sum_{i=1}^n |x_i|^p\biggr)^{1/p}

$\|x\|_\infty := \max_{i=1}^n |x_i|$

Dabei ist $p\geq 1$ eine reelle Zahl und $| x i |$ der Absolutbetrag der i-ten Koordinate des Vektors $x$ . Die aus diesen Normen abgeleiteten Metriken heißen auch Minkowski-Metriken. Für p < 1 können so keine Normen definiert werden, da dann die Dreiecksungleichung verletzt ist.

Spezialfälle

Die 1-Norm $\|x\|_1 = \sum_{i=1}^n |x_i|$

heißt auch Betragssummennorm; die von ihr abgeleitete Metrik heißt speziell im zweidimensionalen Raum $\R^2$ auch Taxi- oder Manhattan-Metrik (da sie den Abstand zweier Punkte wie die Fahrtstrecke in einem Schachbrett-Stadtplan misst. Man muss sich vorstellen vom Ursprung aus erst die komplette Strecke in X-, dann in Y-, dann in Z-Richtung zu gehen und die dabei zurückgelegte Strecke ist die 1-Norm.).

Die 2-Norm $\|x\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n |x_i|^2}$

heißt auch Euklidische Norm; ein mit der 2-Norm versehener Vektorraum wird ein Euklidischer Raum genannt. Im $\R^2$ und $\R^3$ beschreibt die euklidische Norm die anschauliche Länge eines Vektors und führt über die induzierte euklidische Metrik zu dem uns gewohnten Abstandsbegriff. Die Menge aller auf 1 normierten Vektoren bildet im $\R^2$ den Einheitskreis, im $\R^3$ die Einheitskugel und allgemein im $\R^n$ die n-dimensionale Einheitssphäre.

Die $\infty$ -Norm $\|x\|_{\infty} = \max_{i=1}^n |x_i|$ heißt auch Maximumnorm oder Tschebyschew-Norm.

Es gilt

$\|x\|_1 \leq \sqrt{n} \|x\|_2$

und

$\|x\|_2 \leq \sqrt{n} \|x\|_{\infty}.$

Veranschaulichung im Zweidimensionalen

Zur Veranschaulichung betrachten wir zweidimensionale Vektoren $x\in\R^2$ . Die Menge aller auf 1 normierten Vektoren $\left\{x\in\R^2:\|x\|=1\right\}$ bildet einen verallgemeinerten Einheitskreis. Mit den Normen zu p=1, p=2 und p=∞ ergeben sich in einem kartesischen Koordinatensystem die Graphen:

p = 1
Bild:Norm.einheitskreis.infty.gif

p = 2
Bild:Norm.einheitskreis.2.gif

p = ∞
Bild:Norm.einheitskreis.1.gif

l^p-Normen

Die „ $\ell^p$ -Normen“ sind eine Verallgemeinerung der p-Normen auf spezielle unendlichdimensionale Vektorräume.

Wir gehen zunächst von der Menge $\Bbb K^{\Bbb N}$ aller Zahlenfolgen in einem Körper (z.B. $\Bbb K = \Bbb R$ ) aus. Dabei wollen wir die Null als zu $\Bbb N$ gehörend ansehen. Für eine reelle Zahl p ≥ 1 bzw. das Symbol p = ∞ betrachten wir die Teilmengen

Parser-Fehler (Unbekannter Fehler\biggl): \ell^p := \left\{ (a_n) \in \Bbb K^\mathbb{N} : \biggl(\sum_{n=0}^\infty |a_n|^p\biggr)^{\frac{1}{p}} < \infty \right\}, \qquad p \in [1,\infty)

$\ell^\infty := \{ (a_n) \in \Bbb K^\mathbb{N} : \sup_{n\in \mathbb{N}} |a_n| < \infty \}$

aller „in p-ter Potenz summierbaren Folgen“ bzw. aller beschränkten Folgen. Die so erklärten Teilmengen $\ell^p$ sind $\Bbb K$ -Vektorräume, auf denen man die so genannte l^p-Norm wie folgt definiert:

$\|(a_n)\|_p := \sqrt[p]{\sum_{n=0}^\infty |a_n|^p}$

$\|(a_n)\|_\infty := \sup_{n\in\mathbb{N}} |a_n|$

Versehen mit diesen Normen werden die Vektorräume $\ell^p$ zu vollständigen normierten Räumen.

L^p-Normen

Die Definition der L^p-Räume und -Normen wird hier nur kurz angerissen, ausführlichere Informationen dazu im Artikel L^p-Raum.

Analog zu den Folgenräumen kann man den Vektorraum der Funktionen vom Type $f:\R \rightarrow \R$ betrachten, und darin die "in p-ter Potenz integrierbaren Funktionen" herausgreifen, für die man so genannte L^p-Normen definiert. Das ist jedoch zunächst nur eine Halbnorm, da $\|f\| = 0$ nicht ausschließlich für die Nullfunktion gilt. Man geht deshalb über zu einem Faktorraum (den man L^p nennt), auf dem die L^p-Halbnorm dann eine Norm ist.

Operatornormen

Für einen linearen Operator $f:V\rightarrow W$ wird seine Operatornorm (anschaulich der größtmögliche Streckungsfaktor) bezüglich einer Vektornorm folgendermaßen definiert:

$\|f\| = \sup_{x \in V\setminus\{0\}} \frac{\|f(x)\|_W}{\|x\|_V}$

Matrixnormen

Eine Matrixnorm $\|\,{\cdot}\,\|_M$ heißt induziert von einer Vektornorm $\|\,{\cdot}\,\|_V$ , falls gilt:

$\|A\|_M = \sup_{x\not = 0}\frac{\|Ax\|_V}{\|x\|_V}$ .

Für reelle oder komplexe Matrizen $A$ kann man die Operatornormen der entsprechenden linearen Abbildungen für einige Vektornormen (hier die 1, 2 und Maximumsnorm) explizit angeben.

Spaltensummennorm	$\left\\| A \right\\|_1 = \max_j{\sum_{i=1}^m \left\| a_{ij} \right\|}$
Spektralnorm	$\left\\| A \right\\|_2 = \sqrt{\lambda_{{\rm max}}(A^{H}A)}$ , wobei $A H$ die adjungierte (oder hermitesierte) Matrix und $λ max$ den betragsmäßig größten Eigenwert des Matrixprodukts $A H A$ bezeichnet.
Zeilensummennorm	$\left\\| A \right\\|_\infty = \max_i{\sum_{j=1}^n \left\| a_{ij} \right\|}$
Gesamtnorm	$\\|A\\|=n \cdot \max_{i,j\in\{1,\dots,n\}}\|a_{ij}\|$

Matrixnormen haben einige nützliche Eigenschaften, so ist beispielsweise der Spektralradius einer Matrix (der betragsgrößte Eigenwert) immer kleiner als oder gleich ihrer Norm, unabhängig davon, welche Norm gewählt wurde. Sie werden insbesondere in der numerischen Mathematik benutzt.

Matrixnormen heißen submultiplikativ, falls sie folgende Gleichung erfüllen:

$\|A \cdot B\| \leq \|A\|\|B\|$ .

Es gibt Normen, die nicht submultiplikativ sind. Ein Beispiel hierfür ist die für quadratische Matrizen wie folgt definierte Norm $\left\| A \right\| = \max_{i,j\in\{1,\dots,n\}} |a_{ij}|$ .

Es ist möglich, Abbildungen auf dem Matrizenraum zu definieren, die die Normeigenschaften und submultiplikativ sind, jedoch nicht eine von einer Vektornorm herrührende Operatornorm sind. Die bekannteste von diesen ist die Frobeniusnorm:

$\|A\|_{{\rm F}} = \sqrt{\sum_{i,j}|a_{ij}|^{2}} = \sqrt{\operatorname{tr}\left(A^H A \right)}= \sqrt{\sum_{j=1}^n \lambda_j \left(A^H A \right)}$ ,

wobei $\operatorname{tr}(A^H A)$ die Spur (englisch trace) von $A H A$ bezeichnet und $λ j (A H A)$ die Eigenwerte von $A H A$ sind.

Eine Vektornorm $\|x\|$ und eine Matrixnorm $\|A\|$ heißen verträglich wenn gilt:

$\|Ax\| \leq \|A\|\cdot \|x\|$

Offensichtlich ist die von einer Vektornorm induzierte Matrixnorm mit dieser Vektornorm verträglich.

Einige verträgliche Normen:

Vektornorm	Matrixnormen
Betragssummennorm (p=1)	Spaltensummennorm Gesamtnorm
Euklid. Norm (p=2)	Frobeniusnorm Gesamtnorm Spektralnorm
Maximumsnorm (p=∞)	Gesamtnorm Zeilensummennorm

Hierbei ist die Gesamtnorm wie folgt definiert:

$\|A\|=n \cdot \max_{i,j\in\{1,\dots,n\}}|a_{ij}|$

Weitere Matrixnormen sind die Ky-Fan-Normen.

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Spezialfall reelle und komplexe Vektorräume

Allgemeiner Fall

Bemerkungen

Einordnung

Äquivalenz von Normen

Betragsnormen

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Spezialfälle

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