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Normalisierung (Mathematik)

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Normalisierung oder Normierung bedeutet in der Mathematik und Statistik, die Skalierung des Wertebereichs einer Variablen auf einen bestimmten Bereich, üblicherweise zwischen 0 und 1 (bzw. 100 Prozent).

Normalisierung kann dazu dienen, Ergebnisse mit unterschiedlicher Grundlage vergleichbar zu machen. Zum Beispiel kostet der Kauf eines Hauses einen Millionär genauso viel wie einen Sozialhilfeempfänger. Das "Gefühl", dass das Haus für den Millionär "viel weniger" kostet als für den Armen, kann man explizit machen, indem man den Hauspreis in Relation zum jeweiligen Jahreseinkommen setzt und ihn so auf Prozentsatz-Basis normalisiert.

In der linearen Algebra normiert man einen Vektor, indem man seine Länge auf 1 verkürzt oder verlängert, die Richtung jedoch beibehält. Er ist dann ein Einheitsvektor.

Viele numerische Rechenverfahren sind darauf angewiesen, dass der Wertebereich bei Iterationen einer Funktion weder zu groß noch zu klein wird, da der Algorithmus sonst numerische Instabilität zeigt. In diesen Fällen bietet die Renormierung einen Ausweg. Um bestehende Werte zwischen min und max in einen Bereich zwischen min_norm (z. B. 0) und max_norm (z. B. 1) zu normalisieren, wird folgende Formel angewandt:

$v'=\frac{v-min}{max-min} \cdot (max_\mathrm{norm} - min_\mathrm{norm})+min_\mathrm{norm}$

wobei max − min der alten Wertespanne und max_norm − min_norm der neuen, normalisierten Wertespanne entsprechen.

Normieren ist in der Mathematik:

die Normalisierung auf einen bestimmten Wertebereich, üblicherweise 0 und 1.

einem Vektor die Norm 1 zuweisen: Er ist dann Einheitsvektor.

ein Polynom mit einem geeigneten Faktor zu multiplizieren, damit bei der höchsten Potenz der Variable (Leitkoeffizient) nur der Faktor 1 steht:

$\begin{matrix} 3x^2 +2x &=& 1 & \vert \cdot {1 \over 3} \\ x^2 +{2 \over 3}x &=& {1 \over 3} & \quad \end{matrix}$

das Einführen neuer Variablen — die sich nur in einem Faktor unterscheiden — in eine Funktion, um eine Gleichung zu vereinfachen:

$\begin{matrix} y &=& a \cdot \sin (b \cdot x) & ,{\rm mit}~~ \bar x = { b \cdot x},~ \bar y = { y \over a} \\ \bar y &=& \sin \bar x \end{matrix}$

Diese Vorgehensweise dient zum Beispiel dazu, die Gleichung auf grundlegende Funktionen zurückzuführen — eine in der Integration durch Substitution unverzichtbare Methode — oder Formeln geometrischer Kurven in eine bestimmte standardisierte Darstellung zu bringen.

siehe auch: Koordinatentransformation, Normalaffinität (Orthogonalaffinität)