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Normale Konvergenz

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In der Mathematik dient der Begriff der normalen Konvergenz der Charakterisierung von unendlichen Reihen von Funktionen. Eingeführt wurde der Begriff von dem französischen Mathematiker René Louis Baire.

Definition

Sei X ein beliebiger topologischer Raum. Für Funktionen f : X \rightarrow \mathbb{C} und eine beliebige Teilmenge A von X sei

|f|_A := \sup_{x \in A} |f(x)| die Supremums-Seminorm.

Eine Reihe \sum_{n=1}^\infty f_n von Funktionen f_n : X \rightarrow \mathbb{C} heißt normal konvergent, wenn es zu jedem x \in X eine Umgebung U(x) gibt, so dass

\sum_{n=1}^\infty |f_n|_U \mathrm{ } < \infty.

Eigenschaften

Der Begriff der normalen Konvergenz ist ein relativ starker Konvergenzbegriff, denn für jede in X normal konvergente Reihe ist diese dort auch lokal-gleichmäßig konvergent, d.h. zu jedem Punkt x_0 \in X gibt es eine Umgebung U(x0), in der die Reihe gleichmäßig konvergiert. Darüber hinaus ist jede normal konvergente Reihe auch kompakt konvergent.

Wichtig sind noch folgende Tatsachen:

  • Linearkombinationen sowie das Produkt normal konvergenter Reihen sind wieder normal konvergent.
  • Sind alle fn stetig, so ist auch die Grenzfunktion f=\sum_{n=1}^\infty f_n stetig.
  • Konvergiert eine Reihe normal gegen eine Grenzfunktion f, so konvergiert auch jede Umordnung dieser Reihe normal gegen f.

Literatur

Wikipedia
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