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Noethersch

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In der Algebra werden bestimmte Strukturen (Ringe und Moduln) noethersch genannt, wenn sie keine unendliche Schachtelung von immer größeren Unterstrukturen enthalten können. Der Begriff ist nach der Mathematikerin Emmy Noether benannt.

Inhaltsverzeichnis

Noethersche Moduln

Es sei R ein unitärer Ring. Ein R-Linksmodul M heißt noethersch, wenn er eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt:

  • Jeder Untermodul ist endlich erzeugt.
  • (Aufsteigende Kettenbedingung) Jede aufsteigende Kette
N_1 \subseteq N_2 \subseteq N_3 \subseteq\ldots
von Untermoduln wird stationär, d.h. es gibt einen Index n, so dass
N_n = N_{n+1} = N_{n+2} = \ldots
  • (Maximalbedingung für Untermoduln) Jede nichtleere Menge von R-Untermoduln von M hat ein maximales Element bezüglich Inklusion.

Noethersche Ringe

Ein Ring R heißt

  • linksnoethersch, wenn er als R-Linksmodul noethersch ist;
  • rechtsnoethersch, wenn er als R-Rechtsmodul noethersch ist;
  • noethersch, wenn er links- und rechtsnoethersch ist.

Bei kommutativen Ringen sind alle drei Begriffe identisch und äquivalent dazu, dass alle Ideale in R endlich erzeugt sind.

Eigenschaften und Beispiele

  • Ist R linksnoethersch, das Jacobson-Radikal J=\operatorname{Rad}(R) nilpotent, und R / J halbeinfach, dann ist R auch linksartinsch.
  • Endlich erzeugte Moduln über noetherschen Ringen sind noethersch. Die endlich erzeugten Moduln über einem noetherschen Ring bilden eine abelsche Kategorie; die Voraussetzung, dass der Ring noethersch ist, ist dabei essentiell.
  • Quotienten und Lokalisierungen noetherscher Ringe sind noethersch.
  • Ist R ein noetherscher Ring, so ist auch der Polynomring R[X] noethersch (Hilbertscher Basissatz).
  • Daraus folgt, dass allgemein endlich erzeugte Algebren über einem noetherschen Ring wieder noethersch sind. Insbesondere sind endlich erzeugte Algebren über Körpern noethersch.
  • Hauptidealringe oder allgemeiner Dedekindringe sind noethersch.
  • Der Polynomring \Bbb C[X_1, X_2, ...] in unendlich vielen Unbestimmten ist nicht noethersch, da das Ideal, das von allen Unbestimmten erzeugt wird, nicht endlich erzeugt ist.
  • Der Matrizenring \begin{pmatrix} \Z & \mathbb{Q} \\ 0 & \mathbb{Q} \end{pmatrix} ist rechtsnoethersch, aber weder linksartinsch noch linksnoethersch.

Siehe auch

Wikipedia
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