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Nilpotenz

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Nilpotenz ist ein Begriff aus der Ringtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik: Ein Element x eines Rings wird als nilpotent bezeichnet, wenn eine positive natürliche Zahl n existiert, so dass $x n = 0$ . Ein Ideal I von R wird als nilpotent bezeichnet, wenn eine positive natürliche Zahl n existiert, so dass $I n = 0$ .

Beispiele

Diese Definition lässt sich insbesondere auf quadratische Matrizen anwenden. Beispielsweise ist die Matrix

$A = \begin{pmatrix} 0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0\end{pmatrix}$

nilpotent, weil

A 3 = 0

Für spezielle Eigenschaften nilpotenter Matrizen siehe den Artikel nilpotente Matrix.

Im Restklassenring $\mathbb{Z} / 8\mathbb{Z}$ sind die Restklassen von 0, 2, 4 und 6 nilpotent, da jeweils ihre dritte Potenz kongruent zu 0 modulo 8 ist. In diesem Ring ist jedes Element entweder nilpotent oder Einheit.

Im Restklassenring $\mathbb{Z} / 12\mathbb{Z}$ sind die nilpotenten Elemente genau die Restklassen von 0 und 6.

Das Nullelement eines Ringes ist stets nilpotent, da $01 = 0$ ist.

Eigenschaften

Die Menge aller nilpotenten Elemente eines kommutativen Ringes bildet ein Ideal, das so genannte Nilradikal.

Der Durchschnitt aller Primideale in einem kommutativen Ring mit 1 ist genau das Nilradikal.

Sei im folgenden R ein Ring, a ein nilpotentes Element von R und n die kleinste natürliche Zahl mit $a n = 0$ .

Ist $a \neq 0$ , dann ist $n > 1$ und a ist Nullteiler, denn $a a n - 1 = 0$ und $a^{n-1} \neq 0$ .

Ist zusätzlich R ein Ring mit 1, dann gilt:

a ist nicht invertierbar (bzgl. der Multiplikation), denn aus $a b = 1$ für ein Ringelement b folgt der Widerspruch $0 = a n b = a n - 1$ (n war minimal gewählt!).
1-a ist invertierbar, denn es gilt $(1 - a)(1 + a + a 2 + ... + a n - 1) = 1 - a n = 1 = (1 + a + a 2 + ... + a n - 1)(1 - a)$ .
Ist b eine Einheit von R, dann ist auch $b + a$ invertierbar, was man durch Betrachtung der Darstellung als $b+a = b\cdot (1-(-b^{-1}a))$ sieht.

Sei R ein Restklassenring $\mathbb{Z} / m\mathbb{Z}$ und p das Produkt aller Primteiler von m, d.h. aller Primzahlen die in der Primfaktorzerlegung (PFZ) von m auftreten. Z.B. für $m=12=2^2\cdot 3$ ist $p=6 = 2\cdot 3$ . Dann sind die nilpotenten Elemente von R genau die Restklassen von ganzen Zahlen, die Vielfache von p sind. Die Beweisidee ist folgende: Ist k der größte Exponent, der in der PFZ vom m auftritt, dann ist $p k$ ein Vielfaches von m; jede Zahl, für die eine Potenz ein Vielfaches vom m ist, muss bereits selbst jeden Primteiler von m besitzen.