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Modulo (Rest)

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Modulo (mit Betonung auf der ersten Silbe) oder mod ist eine insbesondere in der Informatik verbreitete Funktion, die den Rest aus der Division zweier Ganzzahlen angibt: (a mod m) bezeichnet also den (ganzzahligen) Rest aus der Division a:m. (In Programmiersprachen wird diese Funktion häufig durch den Operator % gekennzeichnet).

Einfaches Beispiel: 7 mod 2 = 1 (7:2 = 3 Rest 1; ebenso ist 7 mod 3 = 1)

Es gibt zwei Varianten der Modulo-Funktion, die für negative Argumente unterschiedliche Ergebnisse liefern:

  • "Mathematische Variante":
(a\;\bmod\;m)= a - \left \lfloor \frac{a}{m} \right \rfloor \cdot m
Die Gaußklammer \lfloor \cdot \rfloor bezeichnet den ganzzahligen Wert der Division a:m, also ohne den Rest. Für diese Variante gilt stets
(a + km)\;\bmod\;m = a\;\bmod\;m\quad(k\in\mathbb Z),
aber im Allgemeinen ist
(-a)\;\bmod\;m \ne-(a\;\bmod\;m), z. B. (-2)\;\bmod3=1\ne-2=-(2\;\bmod\;3).
Ist m positiv, so ist a\;\bmod\;m\geq0 für alle a.
  • "Symmetrische Variante":
(a\;\bmod\;m) = a - m\cdot (a\,\operatorname{div}\,m);
dabei bezeichnet a\,\operatorname{div}\,m den zur Null hin gerundeten Quotienten a / m. Für diese Variante gilt
( − a)mod m = − (amod m),
aber im Allgemeinen
(a + km)\;\bmod\;m\ne a\;\bmod\;m, z. B. (1 - 3)\;\bmod\;3=(-2)\;\bmod\;3=-2\ne 1=1\;\bmod\;3.
a\;\bmod\;m hat stets dasselbe Vorzeichen wie a, oder es gilt a\;\bmod\;m = 0.

In Programmiersprachen ist üblicherweise die zweite Variante implementiert. Gilt a\geq 0 und m > 0, so ergeben beide Varianten dasselbe Ergebnis.

Beispiele:

  • 17 mod 3 = 2, da 17 = 5×3 + 2 („drei passt fünf mal in 17 und es bleiben zwei übrig“ – der Rest ist also zwei)
  • 2 mod 3 = 2, da 2 = 0×3 + 2
  • 3 mod 3 = 0, da 3 = 1×3 + 0

Wenn (a\;\bmod\;n) = (b\;\bmod\;n), dann folgt nicht daraus, dass a = b ist, sondern nur, dass sich a und b um ein ganzzahliges Vielfaches von n unterscheiden. Eine derartige Gleichung kann auch einfacher mit Hilfe der in der Zahlentheorie verbreiteten Kongruenzrelation geschrieben werden.

Praktische Anwendungen

Literatur

  • "Basiswissen Zahlentheorie - Eine Einführung in Zahlen und Zahlenbereiche" - K. Reiss, G. Schmieder, Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York, ISBN 3-540-21248-5

Siehe auch

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