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Mittlere quadratische Abweichung

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Die mittlere quadratische Abweichung (engl. mean squared error und daher mit "MSE" abgekürzt) ist ein Begriff der mathematischen Statistik, mit dem die Abweichung eines Schätzers von dem zu schätzenden Wert (oder allgemeiner: von Funktionalen) berechnet werden kann.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Es seien X\; eine Zufallsvariable und f eine messbare Funktion. Wenn g geschätzt werden soll, dann ist die mittlere quadratische Abweichung eines Schätzers f(X)\; für g wie folgt definiert:

\mbox{MSE}(f,g) = E [ (f(X) - g)^2]\;

Im Falle reellwertiger Funktionen gilt zudem

\mbox{MSE}(f,g) = \mbox{Bias}^2(f(X))+ \mbox{Var}(f(X)). \;

Dabei ist

\mbox{Bias}(f(X)) := E[f(X) - g] \;

und verschwindet also im Fall der Erwartungstreue.

Anwendung

In den meisten klassischen Fällen hat man es in der Statistik mit Parametern \gamma\; (oder Funktionalen von ihnen) zu tun, die geschätzt werden sollen. Üblicherweise versucht man, solche Schätzer zu konstruieren, die einen geringen MSE besitzen.

Beispiel

Ein typischer Fall ist die Schätzung des Mittelwerts einer Normalverteilung. Wir nehmen an, dass Zufallsvariablen X_1, \ldots X_n\; existieren, die jeweils normalverteilt mit unbekanntem Erwartungswert \gamma\; und Varianz 1 sind. Der klassische Schätzer ist das Stichprobenmittel \bar{X}_n. Hier gilt:

\mbox{Bias}(\bar{X}_n) = 0,

da der empirische Mittelwert erwartungstreu für \gamma\; ist. Da \bar{X}_n selbst normalverteilt mit Erwartungswert \gamma\; und Varianz \frac 1n ist, folgt

\mbox{MSE}(\bar{X}_n) = \frac 1n.

Interpretation

Eine geringe mittlere quadratische Abweichung bedeutet, dass gleichzeitig Bias und Varianz des Schätzers klein sind. Man befindet sich mit dem Schätzer also im Mittel in der Nähe des zu schätzenden Funktionals (geringer Bias) und weiß gleichzeitig, dass die Schätzwerte wenig streuen (geringe Varianz) und mit großer Wahrscheinlichkeit auch in der Nähe ihres Erwartungswerts liegen.

Ausweitung auf beliebige Verlustfunktionen

Eine Verallgemeinerung der mittleren quadratischen Abweichung ergibt sich, wenn man in der Definition an Stelle des quadratischen Abstandes von Schätzer und unbekanntem Funktional eine beliebige andere Funktion L\; ersetzt, die symmetrisch ist, Werte in \mathbb R^{+}_{0} besitzt und in beiden Komponenten konvex ist. Abbildungen dieser Art heißen Verlustfunktion, das Risiko eines Schätzers g\; ist dann definiert als

\mbox{R}_\vartheta(g) = E_{\vartheta}[L(g(X), \gamma (\vartheta))].

Wikipedia
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