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Mittlere Krümmung

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In der Theorie der Flächen im dreidimensionalen Raum (\mathbb{R}^3), einem Gebiet der Differentialgeometrie, ist neben der gaußschen Krümmung und anderen Krümmungen die mittlere Krümmung ein wichtiger Begriff. Es gibt eber auch eine Verallgemeinerung in höhere Raumdimensionen, wir sprechen dann von einem mittleren Krümmungsvektor.

Definition

Gegeben seien eine reguläre Fläche im \mathbb{R}^3 und ein Punkt dieser Fläche. Die mittlere Krümmung H der Fläche in diesem Punkt ist das arithmetische Mittel der beiden Hauptkrümmungen k1 und k2.

  • H \, = \, \frac{1}{2} (k_1 + k_2)
  • Von besonderem mathematischen Interesse sind sogenannte Minimalflächen, für welche H = 0 bzw. k1 = − k2 gilt.

Beispiele

  • Im Falle einer Kugel(oberfläche) mit Radius r ist die mittlere Krümmung gegeben durch H = 1 / r2.
  • In einem beliebigen Punkt auf der gekrümmten Fläche eines geraden Kreiszylinders mit Radius r ist die mittlere Krümmung gleich H = 1 / r.
  • Sei X = X(u,v) = (u,v,f(u,v)) ein Graph über der u − v Ebene. Dann berechnet sich die mittlere Krümmung durch die Formel:
H = \frac{(1+f_v^2)f_{uu} - 2f_uf_vf_{uv} + (1+f_u^2)f_{vv}}{\sqrt{1+f_u^2+f_v^2}^{3}}.
Diese Gleichung nennt man auch nicht-parametrische Gleichung vorgeschriebener mittlerer Krümmung.

Eigenschaften

H = \frac{LG - 2MF + NE}{2(EG - F^2)}
  • Wenn die erste Fundamentalform isotherm parametrisiert ist, d.h. es gilt 0 < E = G und F = 0, dann schreibt sich
H = \frac{L+N}{2E}.
  • Für eine Fläche X = X(u,v) gilt die Gleichung
H\vec{n} = g^{ij}\nabla_i\nabla_j X,
mit der Einheitsnormale \vec{n}, gij als erster Fundamentalform und \nabla_i der kovarianten Ableitung.
  • Wenn eine Fläche X = X(u,v) isotherm parametrisiert ist, so genügt sie dem Rellichschen H-Flächensystem
\Delta X = 2H X_u\times X_v.
Wikipedia
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