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Mittelwertsatz der Integralrechnung

Aus Kefk.

Der Mittelwertsatz der Integralrechnung ist ein wichtiger Satz der Analysis (Mathematik).

Satz

Seien $f,g:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ stetige Funktionen und weiterhin $g \ge 0$ . Dann existiert ein $\xi \in (a,b)$ , sodass

$\int\limits_{a}^{b}{f(x)g(x)dx} = f(\xi)\int\limits_{a}^{b}{g(x)dx}$

Beweis

Setze $k:= \inf\{f(x): x \in [a,b]\}$ und $K:= \sup\{f(x): x \in [a,b]\}$ ,

Aus $k \le f(x) \le K$ und der Monotonie und Linearität des Riemann-Integrals folgt:

$k\int\limits_{a}^{b}{g(x)dx} \leq \int\limits_{a}^{b}{f(x)g(x)dx} \leq K\int\limits_{a}^{b}{g(x)dx}$

Es gibt also ein $\eta \in [k,K]$ mit

$\int\limits_{a}^{b}{f(x)g(x)dx} = \eta\int\limits_{a}^{b}{g(x)dx}$

und aus dem Zwischenwertsatz folgt, dass es ein $\xi \in [a,b] \ \mathrm{mit} \ f(\xi) = \eta$ gibt.
Das liefert die Behauptung.

Man kann sogar zeigen, dass $ξ$ nie die Grenzen a,b annehmen muss.

Wäre das der Fall, so wäre o.B.d.A. $a = ξ$ und $\forall\psi \in (a,b]$ ist $f (a) < f (ψ)$ .

Da $a\int\limits_{a}^{(b+a)/2}{g(x)dx} \leq \int\limits_{a}^{(b+a)/2}{f(x)g(x)dx}$ und $a\int\limits_{(b+a)/2}^{b}{g(x)dx} < \int\limits_{(b+a)/2}^{b}{f(x)g(x)dx}$ ist
$a\int\limits_{a}^{b}{g(x)dx} < \int\limits_{a}^{b}{f(x)g(x)dx}$ . Also $\xi \in (a,b)$ .