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Minor (Mathematik)

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Minor ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der linearen Algebra. Man bezeichnet damit die Determinante einer quadratischen Untermatrix, die durch Streichen einer oder mehrerer Spalten und Zeilen einer Matrix entsteht. Die Anzahl der Zeilen bzw. Spalten der entsprechenden Untermatrix gibt die Ordnung des Minors an.

Zu einer quadratischen n \times n-Matrix lassen sich die Cofaktoren \tilde a_{ij} gemäß folgender Formel berechnen:[1]

\tilde a_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}

Dabei ist Mij der Minor (n − 1)-ter Ordnung, der aus derjenigen Untermatrix berechnet wird, die durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht.

Aus den Cofaktoren lässt sich wieder eine Matrix bilden, deren Transponierte als Adjunkte oder komplementäre Matrix bezeichnet wird. Mit ihr kann man die Inverse einer Matrix berechnen. Der Laplace'sche Entwicklungssatz verwendet die Cofaktoren einer Matrix zur Berechnung ihrer Determinante.

Inhaltsverzeichnis

Beispiel

Es soll der Minor M2,3 und der Cofaktor \tilde a_{2,3} der folgenden Matrix bestimmt werden:

A = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 3 & 0 & 5 \\ -1 & 9 &11 \end{pmatrix}

Durch Streichen der zweiten Zeile und dritten Spalte

\begin{pmatrix} 1 & 4 & - \\ - & - & - \\ -1 & 9 & - \end{pmatrix}

entsteht die Matrix

A_{2,3} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ -1 & 9 \end{pmatrix}

Daraus lässt sich der Minor M2,3 berechnen.

M_{2,3} = \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ -1 & 9 \end{vmatrix} = 9 + 4 = 13.

Für den Cofaktor \tilde a_{2,3} gilt

\tilde a_{2,3} = (-1)^{2+3} \cdot M_{2,3} = -13

Hauptminoren

Die linken oberen k\times k-Teilmatrizen Ak der n\times n-Matrix A, die durch Streichung der n − k rechtesten Spalten und n − k untersten Zeilen entstehen, haben eine Bedeutung für die Feststellung der Definitheit der Matrix A. Die Determinanten det(Ak) dieser Teilmatrizen heißen (führende) Hauptminoren.

Hauptminoren-Kriterium für Definitheit

Das Hauptminoren-Kriterium für die Definitheit (auch Hurwitz-Kriterium genannt) lautet wie folgt:

Die symmetrische Matrix Ak ist genau dann positiv definit, wenn alle Hauptminoren von Ak positiv sind.

Sinnvoll anwendbar ist dieses Kriterium für Matrizen bis zum Format 6×6.

Quellen

  1. ↑ Siegfried Bosch: Lineare Algebra. Springer, 2001, ISBN 3-540-41853-9, S. 148
  • Wolfgang Gawronski: Grundlagen der Linearen Algebra. Aula-Verlag, Wiesbaden 1996, ISBN 3-89104-566-2, S. 193
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