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Minkowski-Ungleichung

Die Minkowski-Ungleichung (nach Hermann Minkowski) ist eine Aussage der Funktionalanalysis. Sie sagt, dass die Dreiecksungleichung in den L^p-Räumen gilt. Jene sind somit normierte Vektorräume.

Sei S ein Maßraum, sei 1 ≤ p ≤ ∞ und seien f und g Elemente des L^p(S). Dann ist f + g aus L^p(S), und es gilt

$\|f+g\|_p \le \|f\|_p + \|g\|_p$

wobei die Gleichheit im Fall 1 < p < ∞ genau dann gilt, wenn f und g linear abhängig sind.

Der Beweis verwendet die Höldersche Ungleichung.

Wie die Höldersche Ungleichung, kann auch die Minkowski-Ungleichung auf Folgen und Vektoren spezialisiert werden, indem man das Zählmaß verwendet:

$\left( \sum_{k=1}^n |x_k + y_k|^p \right)^{1/p} \le \left( \sum_{k=1}^n |x_k|^p \right)^{1/p} + \left( \sum_{k=1}^n |y_k|^p \right)^{1/p}$

für alle reellen (oder komplexen) Zahlen x₁,...,x_n, y₁,...,y_n.