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Metrischer Tensor

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Der metrische Tensor (auch Metriktensor oder Maßtensor) dient dazu, mathematische Räume, insbesondere differenzierbare Mannigfaltigkeiten, mit einem Maß für Abstände und Winkel auszustatten.

Dieses Maß muss nicht notwendig alle Bedingungen erfüllen, die in der Definition eines metrischen Raums an eine Metrik gestellt werden: im Minkowski-Raum der Speziellen Relativitätstheorie gelten diese Bedingungen nur für Abstände, die entweder einheitlich raumartig oder einheitlich zeitartig sind.

Für die Differentialgeometrie und die Allgemeine Relativitätstheorie bedeutsam ist, dass der metrische Tensor, anders als eine über inneres Produkt und Norm definierte Metrik, vom Ort abhängen kann.

Inhaltsverzeichnis

Definition und Bedeutung

Der metrische Tensor g ist ein kovarianter Tensor zweiter Stufe über einem reellen Vektorraum V:

g : V \times V \to \mathbf{R}

Damit man \sqrt{g \left( \vec{x},\,\vec{x} \right)} als Länge des Vektors \vec{x} deuten kann, ist zu fordern, dass g mindestens positiv semidefinit ist. Für alle 0 \ne \vec{x} \in V muss daher g \left( \vec{x},\,\vec{x} \right) \ge 0 gelten.

In Anlehnung an die Unterscheidung zwischen Metrik und Pseudometrik wird manchmal sogar gefordert, dass der metrische Tensor positiv definit sein muss (dann wird in der vorstehenden Bedingung g \ge 0 zu g > 0). Ein Tensor g, der nur semidefinit ist, heißt dann genauer pseudometrischer Tensor.

Wenn ein lokales Koordinatensystem \vec{x}^i gewählt wird, schreibt man die Komponenten von g als gij. Unter Verwendung der Einsteinschen Summationskonvention ist dann

g\left( \vec{x},\,\vec{x}\right) = g_{ij}\,\vec{x}^i\,\vec{x}^j

Die Länge eines Kurvensegments, dessen Punkte \vec{x}\left( t \right) durch t \in \left[ a;\,b \right] parametrisiert sind, wird mit Hilfe des metrischen Tensors als

L = \int_a^b \sqrt{ g_{ij} \, \frac{ \mathrm{d} \vec{x}^i }{ \mathrm{d}t} \,\frac{\mathrm{d}\vec{x}^j}{\mathrm{d}t}} \,\mathrm{d}t

berechnet; der Winkel θ zwischen zwei Tangentialvektoren \mathbf{u}=\vec{u}^i\,\frac{\partial}{\partial \vec{x}^i} und \mathbf{v}=\vec{v}^i\,\frac{\partial}{\partial \vec{x}^i} ist gegeben durch

\cos \theta = \frac{g_{ij}\,\vec{u}^i\,\vec{v}^j} {\sqrt{ \left| g_{ij}\,\vec{u}^i \,\vec{u}^j \right| \left| g_{ij}\, \vec{v}^i\,\vec{v}^j \right|}}.

Beispiele

Euklidischer Raum

In einem Euklidischen Raum mit Kartesischen Koordinaten ist der metrische Tensor durch die Einheitsmatrix gegeben,

gij = δij.

Für die Kurvenlänge

L = \int_a^b \sqrt{ \left( \mathrm{d} \mathbf{x} \right)^2}

und den Winkel

\cos \theta = \frac{\mathbf{u}\,\mathbf{v}} {|\mathbf{u}|\cdot |\mathbf{v}|}

erhält man die üblichen Formeln der Vektoranalysis.

Wenn eine Mannigfaltigkeit in einen Euklidischen Raum mit kartesischen Koordinaten eingebettet ist, dann ergibt sich ihr metrischer Tensor aus der Jacobi-Matrix J der Einbettung als

g = JTJ.

In einigen anderen Koordinatensystemen lautet der metrische Tensor des Euklidischen Raums wie folgt:

g = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & r^2\end{bmatrix}
g = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}
g = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & (r\sin \theta)^2\end{bmatrix}

Minkowski-Raum (spezielle Relativitätstheorie)

Hauptartikel: Minkowski-Raum

Der flache Minkowski-Raum der speziellen Relativitätstheorie beschreibt eine vierdimensionale Raum-Zeit ohne Gravitation. Räumliche Abstände und Zeitspannen hängen in diesem Raum von der Wahl eines Inertialsystems ab; wenn man einen physikalischen Vorgang in zwei verschiedenen, gleichförmig gegeneinander bewegten Inertialsystemen beschreibt, können sie verschiedene Werte annehmen.

Invariant unter Lorentztransformationen ist hingegen der sogenannte Viererabstand, der räumliche und zeitliche Abstände zusammenfasst. Unter Verwendung der Lichtgeschwindigkeit c berechnet sich dieser Viererabstand aus räumlichem Abstand \mathrm d \mathbf r und Zeitspanne dt als

\mathrm d s^2 = c^2 \, \left( \mathrm d t \right)^2 \, - \left(\mathrm d \mathbf r \right)^2

Im Minkowski-Raum wird der kontravariante Orts-Vierervektor definiert durch xμ = (x0,x1,x2,x3) = (ct,x,y,z) zusammengefasst.

Der metrische (genauer: pseudometrische) Tensor lautet in einer heute weit verbreiteten Konvention

\eta_{\mu\nu} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1\end{bmatrix}\equiv\operatorname{diag}(1,-1,-1,-1).

In einer älteren und heute weniger verbreiteten Konvention schreibt man

\eta_{\mu\nu} = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\equiv\operatorname{diag}(-1,1,1,1).

In der Allgemeinen Relativitätstheorie ist der metrische Tensor ortsabhängig und bildet daher ein Tensorfeld, da die Krümmung der Raumzeit an verschiedenen Punkten meist verschieden ist.

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