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Mercator-Projektion

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Mercator-Projektion

Die Mercator-Projektion ist eine winkeltreue Kartenprojektion, die besonders zur Navigation in der Schifffahrt eingesetzt wird. Sie wurde nach ihrem Erfinder, dem Kartografen Gerhard Mercator, benannt, der dem damaligen Zeitgeist entsprechend seinen Namen Gerhard Kremer latinisiert hatte.

Inhaltsverzeichnis

Aufbau

Um die Erde wird ein Zylinder gelegt (Zylinderprojektion), der jene am Äquator berührt. Vom Projektionszentrum in der Erdmitte werden nun alle Punkte vom Globus auf den Zylinder übertragen. Rollt man danach den Zylinder ab, so erhält man eine plane Karte der Erdoberfläche. Dies ist noch keine Mercator-Projektion, denn sie weist an einem bestimmten Punkt in Nord-Süd-Richtung einen anderen Längenmaßstab auf als in Ost-West-Richtung, ist also noch nicht winkeltreu. Um Winkeltreue herzustellen, wird die Karte in Nord-Süd-Richtung verzerrt. Im Abbildungsgesetz, welche geographische Breite in welchem Abstand vom Äquator in der Karte abgebildet wird, tritt bei dieser Korrektur anstelle des Tangens der geographischen Breite eine andere Funktion, nämlich das Integral des Kehrwertes des Cosinus.

Abbildungseigenschaft

Da der Äquator die Berührungslinie von Zylinder und Globus ist, wird dieser längentreu abgebildet. Zum Nord- und Südpol hin werden die Verzerrungen immer größer. Dadurch ist die Insel Grönland (2,2 Mio. km²) in dieser Kartenprojektion fast so groß dargestellt wie der Kontinent Afrika (30,3 Mio. km²). Die Mercator-Projektion ist also nicht flächentreu. Der Nord- und der Südpol können nicht dargestellt werden, da der projizierte Punkt im Unendlichen liegen würde.

Die Eigenschaft der Winkeltreue ermöglicht es, die auf der Karte abgelesenen Winkel direkt zur Navigation zu nutzen. Bei einer Atlantiküberquerung von z.B. Portugal nach Kuba, musste man im Heimathafen den Kurswinkel zum Zielhafen ermitteln und konnte dann die ganze Fahrt über immer entlang dieses Winkels (relativ zur Himmelsrichtung) reisen. Diese so genannte Loxodrome ist zwar nicht der kürzeste Weg, das wäre die Orthodrome, aber die am einfachsten zu navigierende Strecke, da nicht ständig der Fahrtwinkel angepasst werden muss.

Die Mercator-Projektion ist Gegenstand einer von Arno Peters initiierten Diskussion um ein "eurozentrisches Weltbild", die er auf die Verwendung dieser Projektion zurückführt. Sein Hauptkritikpunkt ist die mangelnde Flächentreue (auf einer Weltkarte erscheinen polnähere Gebiete wie Europa im Verhältnis größer als äquatornahe Gebiete, die meist in Entwicklungsländern liegen), welche die von ihm entworfene Peters-Projektion bietet. Gegner seiner These entgegnen, dass die Mercator-Projektion zur Vereinfachung der Schiffsnavigation entworfen wurde, anstatt um ein bestimmtes Weltbild zu propagieren. Die Verwendung der Mercator-Projektion für eine Weltkarte war zu Mercators Zeit daher auch eher unüblich.

Nutzung

Die Abbildung liegt fast allen Seekarten und einigen Luftfahrtkarten zugrunde, da die Maßstabsänderungen auf kleinen Ausschnitten der Erdoberfläche kaum spürbar sind. Andererseits bekommen Nautiker in ihrer Ausbildung beigebracht, dass eine Seemeile (Bogenminute auf dem Großkreis) nicht irgendwo, sondern immer neben der eigenen Position am linken oder rechten Kartenrand mit dem Stechzirkel abgegriffen wird, da diese Skala nicht äquidistant ist.

Berechnungsformel

Die folgenden Gleichungssysteme bestimmen die Koordinaten x und y eines Punktes auf einer Mercatorkarte aus seiner geographischen Breite φ und geographischen Länge λ (mit λ0 als geographischer Länge des Kartenzentrums). Die Erde wird als kugelförmig angenommen; Längen sind mit dem Erdradius dimensionslos gemacht. Die Gleichung für y ist das oben genannte Integral des Kehrwerts des Cosinus der Latitude (anstelle des Tangens bei der Zylinderprojektion):

\begin{matrix} x &=& \lambda - \lambda_0; \\ \\ y & =& \ln \left[ \tan \left( \frac {1} {4} \pi + \frac {1} {2} \phi \right) \right] \\ \\ \ & =& \ln \left( \tan \phi + \sec \phi \right) \\ \\ \ & =& \frac {1} {2} \ln \left( \frac {1 + \sin \phi} {1 - \sin \phi} \right) \\ \\ \ & =& \mathop{\rm artanh} \left(\sin \phi \right) \\ \\ \ & =& \mathop{\rm arsinh} \left( \tan \phi \right). \end{matrix}

Dies ist die Inverse der Gudermannfunktion:

\begin{matrix} \phi &=& 2\arctan \left( e^y \right) - \frac{1} {2} \pi \\ \\ \ &=& \arctan \left( \sinh y \right) \\ \\ \ &=& \arcsin \left( \tanh y \right); \\ \\ \lambda &=& x + \lambda_0. \end{matrix}

Literatur

  • Monmonier, Mark: Rhumb Lines and Map Wars: A Social History of the Mercator Projection. Chicago 2004
  • Buchholz, Reinhard und W. Krücken: Die Mercator-Projektion. Zu Ehren von Gerhard Mercator (1512-1594). Velten 1994
  • Vermij, Rienk (Hrsg.): Gerhard Mercator und seine Welt. Duisburg 1997
  • Krämer, Karl Emmerich: Mercator: eine Biographie. Duisburg 1980
  • Vermeulen, John: Zwischen Gott und der See: Roman über ... Mercator. Diogenes 2005
  • Crane, Nicholas: Der Weltbeschreiber, Biographie von G. Mercator, Droemer-Verlag 2005, ISBN 3-426-27224-5
  • Crane, Nicholas: The Man Who Mapped the Planet, Biographie von G. Mercator, engl. Originalfassung, Owl Books 2004, ISBN 080506625X

Weblinks

  • [1] Umfangreiche Website zu Mercator und der mathematischen Entwicklung des nach ihm benannten Kartennetzentwurfs. Dazu eine ausführliche Auseinandersetzung mit der Peters-Projektion.
Von „http://www.kefk.org/wiki/Mercator-Projektion“
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