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Mathematische Beschreibung des Bipolartransistors

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Dieser Artikel war Teil des Artikels Bipolartransistor und wurde der Übersicht wegen dort ausgelagert.

Das physikalische Verhalten des Transistors basiert im Wesentlichem auf dem der Diode, wodurch die entsprechenden Formeln - in einer etwas abgewandelten Form - auch auf den Transistor angewandt werden können. Zusätzlich gilt es einige weitere Effekte wie die Stromverstärkung zu berücksichtigen.

Formelzeichen

Im Folgenden werden die hier verwendeten Formelzeichen verwendet. Für weitere Formelzeichen siehe auch Ersatzschaltungen.

Ströme

	-Strom	-Dauer- strom	-Spitzen- strom
Kollektor-	I_C	$I C, m a x$	$I C M$
Basis-	I_B	$I B, m a x$	$I B M$
Emitter-	I_E	$I E, m a x$	$I E M$

Sättigungssperrstrom: $I_S \approx 10^{-16} \dots 10^{-12} \, \mathrm{A}$

Kollektor-Basis-Sperrstrom: $I C B O$
Emitter-Basis-Sperrstrom: $I E B O$
Kollektor-Emitter-Sperrstrom: $I C E O$ bzw. $I C E S$

Spannungen

Kollektor-Emitter Spannung: $U CE$
Basis-Emitter Spannung: $U BE$
Kollektor-Basis-Spannung: $U CB$
Early-Spannung: $U A$
$U_{A,pnp} \approx 30 \dots 75 \, \mathrm{V}$
$U_{A,npn} \approx 30 \dots 150 \, \mathrm{V}$
Emitter-Basis Durchbruchsspannung: $U_{(BR)EBO}\approx 5\dots 7\,\mathrm{V}$
Kollektor-Basis Durchbruchsspannung: $U (B R) C B O$
$U_{(BR)CBO}\approx 20\dots 80\,\mathrm{V}$ bei Niederspannungstransistoren
$U_{(BR)CBO} < 1{,}3 \,\mathrm{kV}$ bei Hochspannungstransistoren

Widerstände

Kleinsignalausgangswiderstand: $r C E$
Kleinsignaleingangswiderstand: $r B E$

Leistungen

Verlustleistung: P_V
Maximale Verlustleistung:
P_tot oder P_max (allgemein)
P_V,25(A) (Umgebungsluftgekühlt; bei 25 °C)
P_V,25(C) (mit zusätzlicher Kühlung; bei 25 °C)

Andere

Großsignalverstärkung: B
$B \approx 10 \dots 100$ bei Leistungstransistoren
$B \approx 100 \dots 500$ bei Kleinleistungstransistoren
$B \approx 500 \dots 10^4$ bei Darlington-Transistoren
Kleinsignalverstärkung: $β$
Steilheit: S
Rückwärtssteilheit: $S r$
Arbeitspunkt: AP
Umgebungstemperatur: T_A
Gehäusetemperatur: T_C

Stromverstärkungsfaktor

Man unterscheidet beim Bipolartransistor den Gleichstromverstärkungsfaktor B (auch $h F E$ ) und die differentielle Stromverstärkung β (auch $h f e$ ). Beide können sehr unterschiedlich sein (je nach Aufbau und Dotierung des Transistors). Sollten im Datenblatt keine anderen Angaben zu ß zu finden sein, kann man die Näherung $β = B$ verwenden.

Die Formel für den Gleichstrom-Verstärkungsfaktor lautet:

$B=h_{FE}=\frac{I_{\rm C}}{I_{\rm B}}$

Diese Formel kann für die meisten Berechnungen eingesetzt werden, da sich die durch den Early-Effekt verursachte Abhängigkeit des Gleichstromverstärkungsfaktors B von $U C E$ nur geringfügig auswirkt.

Unter Berücksichtigung des Early-Effekts erhält man:

$B \left( U_{BE}, U_{CE} \right) = B_0 \left( U_{BE} \right) \, \left( 1 + \frac{U_{CE}}{U_{A}} \right)$

wobei $B 0$ die ideale Stromverstärkung ohne Early-Effekt darstellt.

Bei Wechselstrom tritt die differenzielle Stromverstärkung auf. Diese ergibt sich aus:

$\beta=\frac{\part I_{\rm C}}{\part I_{\rm B}}$ mit

U CE = k o n s t .

Durch Einsetzen erhält man den Zusammenhang zwischen B und ß:

$\beta = \frac{\part I_C}{\part \left( \frac{I_C}{B \left( I_C, U_{CE} \right)} \right)} = \frac{B}{1 - \frac{I_C}{B} \, \frac{\part B}{\part I_C}}$

Man bezeichnet B auch als Großsignalverstärkung und $β$ als Kleinsignalverstärkung.

Großsignalgleichungen

Über die Gleichungen der Diode zeigt sich eine exponentielle Abhängigkeit der Ströme $I B$ und $I C$ von der Spannung $U B E$ . Für den Normalbetrieb ergibt sich somit:

$I_C = I_S \, e^{\frac{U_{BE}}{U_T}} \, \left( 1 + \frac{U_{CE}}{U_{A}} \right)$

$I_B = \frac{I_C}{B \left( U_{BE}, U_{CE} \right)} = \frac{I_S}{B_0} \, e^{\frac{U_{BE}}{U_T}}$

Kleinsignalparameter

Die partiellen Ableitungen im Arbeitspunkt werden als Kleinsignalparameter bezeichnet. Diese können aus der Kennlinie ermittelt werden, allerdings ergibt sich aus dem Ablesefehler unter Verwendung von Datenblättern normalerweise kein brauchbares Ergebnis. Zudem sind die entsprechenden Kennlinien meist auch nicht angegeben.

Steilheit

Die Steilheit beschreibt die differenzielle Änderung des Kollektorstromes $I C$ und der Spannung $U B E$ .

$S = \frac{\part I_C}{\part U_{BE}} \forall {AP} = \frac{I_{C,AP}}{U_T}$

Kleinsignaleingangswiderstand

Der Kleinsignaleingangswiderstand $r B E$ beschreibt die differenzielle Änderung der Spannung $U B E$ und mit dem Basistrom $I B$ .

$r_{BE} = \frac{\part U_{BE}}{\part I_B} \forall {AP}$

$r B E$ kann durch eine Umwandlung dieser Formel auch aus der Steilheit abgeleitet werden:

$r_{BE} = \frac{\part U_{BE}}{\part I_C} \forall {AP} \cdot \frac{\part I_C}{\part I_B} \forall {AP} = \frac{\part U_{BE}}{\part I_B} \forall {AP} = \frac{\beta}{S}$

Kleinsignalausgangswiderstand

Der Kleinsignalausgangswiderstand $r C E$ gibt die differenzielle Änderung zwischen der Emitterspannung $U C E$ und dem Kollektorstrom $I C$ an.

$r_{CE} = \frac{\part U_{CE}}{\part I_C} \forall {AP} = \frac{U_A + U_{CE,AP}}{I_{C,AP}} {\begin{matrix} U_{CE,AP} \gg U_A \\ \approx \\ \, \end{matrix}} \frac{U_A}{I_{C,AP}}$

Rückwärtssteilheit

Die Rückwärtssteilheit $S r$ beschreibt die differenzielle Änderung zwischen dem Basisstrom $I B$ und der Kollektor-Emitter-Spannung $U C E$ .

$S_r = \frac{\part I_B}{\part U_{CE}} \forall {AP}$

Die Rückwärtssteilheit ist nur sehr gering und kann daher meist vernachlässigt werden.

$S_r \approx 0$

Kleinsignalgleichungen

Aus den Kleinsignalparametern erhält man die Kleinsignalgleichungen:

$i_B = \frac{1}{r_{BE}} \, u_{BE} + S_r \, u_{CE}$

$i_C = S \, u_{BE} + \frac{1}{r_{CE}} \, u_{CE}$

Kühlung

Die Berechnung der Kühlung eines Transistors entspringt der Wärmelehre. Die entstehende Wärme in der Sperrschicht (junction) $T J$ muss über das Substrat an das Gehäuse (case) mit der Temperatur $T C$ , danach über den Kühlkörper (heatsink) mit der Temperatur $T H$ und danach an die Umgebung (ambient) mit der Temperatur $T A$ abgeleitet werden. Der dabei entstehende Wärmestrom (Φ) entspricht hierbei der im Transistor umgesetzten Leistung $P V$ .

$P_V = U_{CE} \, I_{C} = \Phi = \frac{T_J - T_A}{R_{th,JA}}$

Die in den einzelnen Körpern (Substrat, Gehäuse, Kühlkörper, Umgebung) enthaltene Wärmemenge $Q t h$ ergibt sich aus:

$Q_{th} = C_{th} \, T_{th}$

Wobei $C t h$ die Wärmekapazität der jeweiligen Körper darstellt, in der die Wärme gespeichert wird. Wird im Transistor zu viel Leistung umgesetzt, kann die Wärme nicht schnell genug abfließen und die Temperatur der einzelnen Schichten erhöht sich. Zudem darf die Umgebungstemperatur nicht zu hoch sein, damit die Wärme abfließen kann. Im Pulsbetrieb wird die maximale Leistung kurzfristig überschritten, da jedoch die Schichten die Möglichkeit zur Abkühlung haben, wird die maximal zulässige Temperatur dabei nicht überschritten.

$P_{V,max,puls}\left( t_P , D \right) = \frac{T_{J,max} - T_{A,max}}{R_{th,JA,puls} \left( t_p , D \right)}$

Hierbei ist $t p$ die Pulsdauer, $f w$ die Wiederholfrequenz und D das Tastverhältnis.

$\lim_{t_p \to 0} \frac{P_{V,max,puls}}{P_{V,max,stat}} = \frac{1}{D} = \frac{1}{t_p \, f_w}$

Grenzdaten

Ein Transistor besitzt verschiedene Kenndaten, die im Betrieb nicht überschritten werden dürfen. Dazu gehören Grenzspannungen, Grenzströme und die maximal zulässige Verlustleistung. Werden diese Werte überschtitten, tritt der Durchbruch 2ter Art auf, bei dem der Transistor schmilzt und dadurch dauerhaft leitfähig wird bzw. verdampft. Die Werte von pnp- und npn-Transistoren unterscheiden sich hierbei im Vorzeichen, jedoch nicht in den Beträgen.

Die Bezeichnung der Durchbruchsspannungen und -ströme setzen sich zusammen aus dem jeweiligen Formelzeichen (Spannung = U; Strom = I), der Bezeichnung BR für Durchbruch (breakdown), der Angabe der Anschlüsse, auf die sich der Wert bezieht (C; B; E), und einem Zusatz, welcher für den Belastungstyp des Transistors steht.

Zusatz	Bedeutung	Ausgang
S	shorted	kurzgeschlossen
O	offen; open	unbelastet
R	resitor	belastet

Arbeitsbereich

Bild:Transistor-Arbeitsbereich.png

Begrenzung des Transistor-Arbeitsbereichs

Ein Bipolartransistor hat einen Arbeitsbereich, der im Wesentlichen durch folgende Größen begrenzt wird:

maximal zulässiger Kollektorstrom $I C, m a x$
maximale Kollektor-Emitterspannung $U C E, O$ (Leerlauffall)
maximale Sperrschichttemperatur $\vartheta_{j,max}$

Da die Sperrschichttemperatur nicht direkt messbar ist, wird in Datenblättern die maximale Verlustleistung $P t o t, m a x$ bei gegebener Umgebungs- bzw. Gehäuse-Temperatur angegeben.

Bild:Transistor Ausgangskennlinienfeld.svg

Ausgangskennlinienfeld eines NPN-Transistors

Spannungen

Basis-Emitter-Durchbruchsspannung:
Bei der Basis-Emitter-Diode des PNP-Transistors liegt die Basis-Emitter-Durchbruchsspannung $U (B R) E B O$ für die meisten Transistoren im Bereich zwischen 5 und 7 Volt. Da npn-Transistoren üblicherweise nicht mit einer negativen BE-Spannung betrieben werden, ist diese Angabe meist nicht relevant. Diese Spannung ist die kleinste Grenzspannung eines Transistors.

Kollektor-Basis-Durchbruchsspannung:
Die Kollektor-Basis-Durchbruchsspannung $U (B R) C B O$ gibt an, wann die Kollektor-Diode im Sperrbetrieb durchbricht. Da die Kollektor-Diode im Normalbetrieb gesperrt sein muss, darf diese Spannung im Normalbetrieb nicht überschritten werden. Diese Spannung ist die größte Grenzspannung eines Transistors.

Kollektor-Emitter-Spannung:
In der Praxis ist die maximale Kollektor-Emitter-Spannung $U C E$ besonders wichtig. Ab einer bestimmten Kollektor-Emitter-Spannung tritt ein Durchbruch auf, durch den der Kollektorstrom sehr stark ansteigt und damit die Zerstörung des Transistors verursacht.

Allgemein gilt

U (B R) C E O < U (B R) C E R < U (B R) C E S < U (B R) C B O

für npn-Transistoren (U_BR > 0 V) und umgekehrt

U (B R) C E O > U (B R) C E R > U (B R) C E S > U (B R) C B O

für pnp-Transistoren (U_BR < 0 V).

Ströme

Bei den Grenzströmen unterscheidet man zwischen den maximalen Dauerströmen (continuous currents) und Spitzenströmen (peak currents). Die maximalen Dauerströme werden $I B, m a x$ , $I C, m a x$ und $I E, m a x$ genannt. Die Spitzenströme werden $I C M$ , $I B M$ und $I E M$ genannt und gelten jeweils für bestimmte, im Datenblatt angegebene, Pulsdauern und Pulswiederholraten. Die Spitzenströme sind üblicherweise 1,2 bis 2 mal so groß wie die Dauerströme.

Die Sperrströme (cut-off currents) werden mit $I E B O$ und $I C B O$ , sowie mit $I C E O$ bzw. $I C E S$ bezeichnet. Diese Ströme treten an der Emitter- bzw. Kollektor-Diode auf, wenn an dieser etwas weniger als die jeweiligen Durchbruchsspannungen anliegen (dh. die Diode gerade nicht durchschaltet). Hierbei gilt:

I C E S < I C E O

Leistung

Die Verlustleistung des Transistors ergibt sich aus:

$P_V = U_{CE} \, I_C + U_{BE} \, I_B \approx U_{CE} \, I_C$

Die maximale Verlustleistung $P t o t$ bzw. $P m a x$ ist eine der wichtigsten Kenndaten eines Transistors. Die Temperatur in der Sperrschicht erhöht sich um den Wert, bei dem die Wärme über das Gehäuse und den Kühlkörper an die Umgebung abgegeben werden kann. Diese Temperatur darf den materialabhängigen Grenzwert nicht überschreiten. Für Silicium gilt hierbei:

$T_{max,SI} = 175\ \mathrm{{}^\circ C}$

In der Praxis rechnet man hierbei sicherheitshalber mit einem Grenzwert von 150 °C, um ein vorzeitiges Schmelzen des Siliciums zu verhindern.

Im Datenblatt wird die maximale Verlustleistung für zwei Fälle angegeben:

$P V,25(A)$
Umgebungsluftgekühlter (free-air cooled) Betrieb bei stehender Montage auf einer Leiterplatte bei einer Umgebungstemperatur (ambient temperature) von $T_A = 25\ \mathrm{{}^\circ C}$ . Bei Kleinleistungstransistoren ohne Befestigung für einen zusätzlichen Kühlkörper wird nur dieser Wert im Datenblatt angegeben, da in diesem Fall $P t o t = P V,25(A)$ gilt.
$P V,25(C)$
Betrieb bei einer Gehäusetemperatur (case temperature) von $T_C = 25\ \mathrm{{}^\circ C}$ . Die notwendigen Kühlmaßnahmen werden hierbei meist nicht mit angegeben. Bei Leistungstransistoren, die nur mit einem Kühlkörper betrieben werden dürfen, wird nur dieser Wert im Datenblatt als $P t o t = P V,25(C)$ angeben.

Da die maximal zulässige Leistung $P t o t$ mit zunehmender Temperatur abnimmt, wird im Datenblatt oft die sog. power derating curve angegeben, die $P t o t$ in Abhängigkeit von $T A$ bzw. $T C$ angibt.

Temperaturabhängigkeit

Die Kenndaten eines Transistors sind stark von der Temperatur des Transistors abhängig. Die Abhängigkeit des Zusammenhangs zwischen Kollektorstrom $I C$ und Basis-Emitter-Spannung $U B E$ von der Temperatur T ist hierbei besonders wichtig:

$I_C \left( U_{BE},T \right) = I_S \left( T \right) \, e^{\frac{U_{BE}}{U_T \left( T \right)}} \, \left( 1 + \frac{U_{CE}}{U_A} \right)$

Der Grund dafür ist die Temperaturabhängigkeit vom Sperrstrom $I S$ und der Temperaturspannung $U T$ :

$U_T(T) = \frac{k\, T}{q} = 86{,}142 \cdot 10^{-6} \, \frac{\rm V}{\rm K} \, T$

$I_S(T) = I_S \left( T_0 \right) \, e^{\left( \frac{T}{T_0} - 1 \right) \, \frac{U_G \left( T \right)}{U_T \left( T \right)}} \, {\left( \frac{T}{T_0} \right)}^{x_{T,I}}$ mit $x_{T,I} \approx 3$

Hierbei ist k die Boltzmannkonstante, q die Elementarladung und U_G=1,12 V die Bandabstandsspannung von Silicium. Da die Temperaturabhängigkeit von U_G nur sehr gering ist, wird diese in der Praxis nicht berücksichtigt.

Durch Differentation erhält man:

$\frac{1}{I_S} \, \frac{\delta I_S}{\delta T} = \frac{1}{T} \, \left( 3 + \frac{U_G}{U_T} \right) \begin{matrix} {}_{T=300 \, \mathrm{K}} \\ \approx \\ \, \end{matrix} 0{,}15 \, \mathrm{K}^{-1}$

$\frac{1}{I_C} \, \frac{\delta I_C}{\delta T} \forall \left( U_{BE} = {const.} \right) = \frac{1}{T} \, \left( 3 + \frac{U_G - U_{BE}}{U_T} \right) \begin{matrix} {}_{T = 300 \, \mathrm{K}} \\ {}_{U_{BE} = 0{,}7\, \mathrm{V}} \\ \approx \\ \, \\ \, \end{matrix} 0{,}065 \, \mathrm{K}^{-1}$

Das bedeutet, dass $I C$ bei einer Temperaturerhöhung von nur 1 K bereits auf das 1,065-fache ansteigt. Zudem verdoppelt sich der Kollektorstrom $I C$ , sobald die Temperatur um 11 K gestiegen ist. Der Arbeitspunkt kann daher nicht über $U B E, A$ eingestellt werden, da $I C, A$ bei Temperaturänderung möglichst konstant gehalten werden muss.

Für den Fall, dass $I C, A$ nur schwach temperaturabhängig ist, kann man näherungsweise die Temperaturabhängigkeit von $U B E$ ermitteln:

$\frac{\delta U_{BE}}{\delta T} \forall \left( I_C = {const.} \right) = \frac{U_{BE} - U_G - 3\, U_T}{T} \begin{matrix} {}_{T = 300 \, \mathrm{K}} \\ {}_{U_{BE} = 0{,}7 \, \mathrm{V}} \\ \approx \\ \, \\ \, \end{matrix} -1{,}7 \cdot 10^{-3} \, \frac{V}{K}$

Die Stromverstärkung ist ebenfalls temperaturabhängig. Hierbei gilt der Zusammenhang:

$B(T) = B \left( T_0 \right) \, e^{\left( \frac{T}{T_0} -1 \right) \, \frac{\Delta U_{dot}}{U_T \left( T \right)}} \approx B \left( T_0 \right) \, {\left( \frac{T}{T_0} -1 \right)}^{x_{T,B}}$ mit $x_{T,B} \approx 1{,}5$

Hierbei ist $U d o t$ eine vom Material abhängige Konstante. Bei Silicium gilt $U_{dot} \approx 44 \, \mathrm{mV}$ . In der Praxis ergibt sich bei T=300 K:

$\frac{1}{B} \, \frac{\delta B}{\delta T} = \frac{\Delta U_{dot}}{U_T \, T} \approx 5{,}6 \cdot 10^{-3} \, \mathrm{K}^{-1}$

Und für die Näherung:

$\frac{1}{B} \, \frac{\delta B}{\delta T} = \frac{x_{T,B}}{T} \approx 5 \cdot 10^{-3} \, \mathrm{K}^{-1}$

Vierpoldarstellung

Gemäß der Vierpoltheorie kann man jedes elektronische Bauelement als Vierpol(e) behandeln. Im Fall des Transistors stellt man die Kleinsignalgleichungen in Matrizenform dar:

$\begin{pmatrix} i_B \\ I_C \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{r_{BE}} & S_r \\ S & \frac{1}{r_{CE}} \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} u_{BE} \\ u_{CE} \end{pmatrix}$

oder in der Leitwertdarstellung mit der Y-Matrix Y_e:

$\begin{pmatrix} i_B \\ I_C \end{pmatrix} = \mathbf{Y}_e \, \begin{pmatrix} u_{BE} \\ u_{CE} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} y_{11,e} & y_{12,e} \\ y_{21,e} & y_{22,e} \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} u_{BE} \\ u_{CE} \end{pmatrix}$

Alternativ kann man auch die Hybrid-Darstellung mit der H-Matrix H_e verwenden:

$\begin{pmatrix} u_{BE} \\ I_C \end{pmatrix} = \mathbf{H}_e \, \begin{pmatrix} i_{B} \\ u_{CE} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} h_{11,e} & h_{12,e} \\ h_{21,e} & h_{22,e} \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} i_B \\ u_{CE} \end{pmatrix}$

Der Index e bedeutet hierbei, dass der Transistor in einer Emitterschaltung betrieben wird.

Für die Umwandlung gilt:

$r_{BE} = h_{11,e} = \frac{1}{y_{11,e}}$

$\beta = h_{21,e} = \frac{y_{21,e}}{y_{11,e}}$

$S = \frac{h_{21,e}}{h_{11,e}} = y_{21,e}$

$S_r = - \frac{h_{12,e}}{h_{11,e}} = y_{12,e}$

$r_{CE} = \frac{h_{11,e}}{h_{11,e} \, h_{22,e} - h_{12,e} \, h_{21,e}} = \frac{1}{y_{22,e}}$

siehe auch: Vierpolparameter

Siehe auch

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Inhaltsverzeichnis

Formelzeichen

Ströme

Spannungen

Widerstände

Leistungen

Andere

Stromverstärkungsfaktor

Großsignalgleichungen

Kleinsignalparameter

Steilheit

Kleinsignaleingangswiderstand

Kleinsignalausgangswiderstand

Rückwärtssteilheit

Kleinsignalgleichungen

Kühlung

Grenzdaten

Arbeitsbereich

Spannungen

Ströme

Leistung

Temperaturabhängigkeit

Vierpoldarstellung

Siehe auch

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