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Relativistische Masse

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Relativistische Masse (auch: dynamische Masse) ist eine Interpretation verschiedener Gleichungen aus den Anfangstagen der speziellen Relativitätstheorie. Das Konzept der relativistischen Masse bzw. der relativistischen Massenzunahme relativ zum ruhenden Beobachter bewegter Körper bietet sich interpretatorisch zunächst an, führt jedoch aus mathematischer Sicht in eine konzeptionelle Sackgasse. In der theoretischen Physik wird das Konzept der relativistischen Masse heute nicht mehr verwendet. In populärwissenschaftlichen Büchern und teilweise auch Vorlesungen zur Experimentalphysik ist es heute jedoch immer noch verbreitet.

Inhaltsverzeichnis

Historische Interpretation

In der speziellen Relativitätstheorie ist der Zusammenhang zwischen Impuls und Geschwindigkeit

\vec p = \frac{m_0 \cdot \vec v}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

Hierbei ist m0 die in diesem Konzept sogenannte Ruhemasse. Weiterhin kann man die Summe aus Ruhe- (Eo) und Bewegungsenergie (Ekin) eines relativ zum ruhenden Beobachter bewegten Körpers schreiben als

E = E_0 + E_{kin} = m_0 \cdot c^2 + \left( \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1 \right) \cdot m_0 \cdot c^2 = \frac{m_0 \cdot c^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

Die kinetische Energie ist also ebenso wie die Gesamtenergie ein - nur von der Geschwindigkeit abhängiges - Vielfaches der Ruheenergie. So lag es nahe auch von einer „dynamischen“ oder relativistischen Masse zu sprechen. Diese beiden Gleichungen haben also in den frühen Tagen der Relativitätstheorie dazu geführt, dass die Physiker den Wurzelfaktor als eng verknüpft mit der Masse betrachtet

m = \frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}

und als relativistische Masse bezeichnet haben. Die Differenz zwischen relativistischer Masse und Ruhemasse wurde auch als relativistische Massenzunahme bezeichnet; bei 50% der Lichtgeschwindigkeit beträgt sie beispielsweise ca. 15% der Ruhemasse.

Diese historische Interpretation wird auch heute noch in populärwissenschaftlicher Literatur und einigen einführenden Lehrbüchern und Schulbüchern verwendet, um Laien einen ersten Einblick in die Aussagen der speziellen Relativitätstheorie zu geben. Sie führt bei komplexeren Rechnungen jedoch zu ernsthaften Schwierigkeiten. Diese werden im weiteren geschildert.

Kritik und moderner Ansatz

Die Definition der relativistischen Masse führt zu einer einfachen Formel für die Energie

E=m\cdot c^2

und zu der Newtonschen Gleichung für den Impuls:

\vec{p}=m\cdot\vec{v}.

Dies ist jedoch eine Überinterpretation in dem Sinne, dass in beiden Gleichungen nur eine Reihe von Größen miteinander verknüpft werden, um eine weitere Größe zu berechnen. Zudem ist das Konzept riskant, da es dazu verleitet, in anderen Newtonschen Gleichungen ebenfalls einfach die Masse durch diesen Term (die relativistische Masse) zu ersetzen, was in der Regel nicht zur korrekten relativistischen Gleichung führt. Zum Beispiel gilt für den Zusammenhang zwischen Beschleunigung und Kraft relativistisch:

\vec F = \frac{\mathrm{d}\vec p}{\mathrm{d}t} = \frac{m_0\vec a}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} + \frac{m_0\vec v(\vec v\cdot\vec a)}{c^2\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{3/2}}

Ersetzt man jedoch in der Newtonschen Beziehung \vec F=m\vec a die Masse durch die relativistische Masse, so erhält man nur den ersten Summanden, und somit ein nicht nur quantitativ, sondern in den meisten Fällen auch qualitativ falsches Verhalten: In der korrekten relativistischen Formel erfolgt die Beschleunigung im Allgemeinen nicht in Richtung der Kraft.

Tatsächlich ist es für ein tieferes Verständnis der Theorie äußerst hilfreich den Wurzelfaktor in der Gleichung für den Impuls als eng verknüpft mit der Geschwindigkeit statt der Masse zu betrachten:

\vec u = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\vec v = \frac{d\vec x}{d\tau} \mbox{ mit der Eigenzeit } \tau

Sinnvoll ist dies, da die vierdimensionale Verallgemeinerung (u^0,u^1,u^2,u^3)=(c\cdot dt/d\tau,d\vec{x}/d\tau) der so definierten Geschwindigkeit unter Lorentztransformation (Übergang in ein anderes Bezugssystem) dieselben Transformationseigenschaften hat wie der (vierdimensionale, nullte Dimension ist die Zeit) Ortsvektor (x^0,x^1,x^2,x^3)=(c\cdot t,\vec{x}). Gleichzeitig wird man auf diese Weise die relativistische Masse los und arbeitet fortan nur noch mit der Ruhemasse m0, die sich unter Lorentztransformation nicht ändert (ein Skalar ist), also für jeden Beobachter in jedem Bezugssystem den gleichen Wert hat. Man betrachtet die Masse heute somit nicht mehr als veränderlich mit der Geschwindigkeit. Als Nachteil erhält man eine zunächst ungewöhnlich definierte „relativistische Geschwindigkeit“ \vec u. Da die Wurzel für in der Alltagswelt auftretende (also kleine) Geschwindigkeiten jedoch sehr nahe bei eins liegt, ist der Unterschied zwischen \vec u und \vec v im Alltag winzig. Es ist also zulässig \vec u als die korrekt definierte Geschwindigkeit und als Korrektur zur (bei hohen Geschwindigkeiten unzweckmäßigen) Geschwindigkeit \vec v Newtons zu betrachten. \vec u gibt dabei an, welche Strecke pro Eigenzeit zurückgelegt wird und kann im Gegensatz zu \vec v beliebig groß werden. Beispielsweise bedeutet u = 1Lichtjahr / Sekunde eine Geschwindigkeit, bei der man in jeder Sekunde Eigenzeit 1 Lichtjahr zurücklegt (mit dieser Geschwindigkeit würde man in 4 subjektiven Sekunden von der Erde zum nächsten Fixstern Alpha Centauri reisen). Die Vakuum-Lichtgeschwindigkeit entspricht einem unendlich hohen Wert von u, insofern ist unmittelbar einsichtig, dass nichts schneller als das Licht sein kann: Schneller als unendlich schnell geht nicht.

Der heute üblicherweise verwendete Ausdruck für den Zusammenhang zwischen Energie und Größen der Bewegung ist

m_0^2 \cdot c^4 = E^2 - (\vec p \cdot \vec p) \cdot c^2

welche sich unmittelbar aus der Invarianz unter Lorentztransformation des Skalarproduktes des vierdimensionalen relativistischen Impulses

(p^0,p^1,p^2,p^3)=(E/c,\vec{p})=m_0\cdot(u^0,u^1,u^2,u^3)

mit sich selbst ergibt:

p^\mu g_{\mu\nu} p^\nu = m_0^2 c^2

wobei gμν der metrische Tensor im Minkowskiraum (Signatur +,-,-,-) ist und die Einsteinsche Summenkonvention angewandt wird: p^\mu g_{\mu\nu} p^\nu = p_0 \cdot p_0 + (\vec p)\cdot (-\vec p)

Hieraus wird die Symmetrie der Relativitätstheorie deutlich. Die Ruhemasse m0 ist der invariante Betrag des Energie-Impuls-Vierervektors. Die so definierte Masse ist eine nur vom Charakter der Teilchens abhängige Größe und entspricht damit eher der klassischen Vorstellung von Masse, als das Konstrukt der relativistischen Masse.

Erläuterung mittels des Newtonschen Grenzfalles

Entwickelt man in der Gleichung für die ,,relativistische Masse"

m = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}m_0

den auch mit γ bezeichneten Vorfaktor für Geschwindigkeiten v sehr viel kleiner c (v < < c) mit Hilfe einer Taylorentwicklung bis zum zweiten nicht-verschwindenden Term

m \approx \left( 1+\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2} \right) m_0

erweist sich der zweite Term (bis auf den konstanten Faktor c2) als die newtonsche kinetische Energie T:

m \approx m_0+\frac{T}{c^2}

Was die ,,relativistische Masse" von der Ruhemasse unterscheidet ist also keine Masse, sondern die kinetische Energie. Multipliziert man die letzte Gleichung mit c2 durch, ergibt sich eine Gleichung, die in Worten ,,Die Gesamtenergie ist die Summe aus Ruheenergie und kinetischer Energie" sehr viel verständlicher klingt als der Satz ,,Die relativistische Masse ist die Summe aus Ruhemasse und kinetischer Energie geteilt durch c2", für den der neue Begriff ,,relativistische Masse" künstlich eingeführt werden muss und man letztlich Masse und Energie (durch den Faktor c2 kompatibel gemacht) addieren muss.

Diskussion

Auch der Impuls hat dieselben Transformationseigenschaften wie die Geschwindigkeit u und der Ortsvektor x. Gibt man also das interpretatorische Konzept der relativistischen Masse auf, bleiben als Rechengrößen nur noch Größen, auf die die exakt gleiche Operation angewandt werden muss, wenn man ihren Wert in einem anderen Bezugssystem berechnen möchte. Dies ist der große Vorteil des Konzeptes, das ohne relativistische Massenzunahme auskommt.

Weblinks

Wikipedia
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