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Massenmittelpunkt

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Skizze zur Berechnung des Massenmittelpunktes
Skizze zur Berechnung des Massenmittelpunktes

In der Physik bezeichnet der Massenmittelpunkt den zu einem Körper gehörenden Punkt auf dem, würde sich die Masse des Körpers in ihm konzentrieren, eine angreifende Kraft die gleiche Wirkung hätte, wie eine auf alle Massepunkte des Körpers einwirkende Kraft. Er liegt im Mittelwert der Koordinaten aller infinitesimal leichten Massepunkte dm eines Körpers:

\vec r_s = \frac{\int \vec r \ dm}{\int dm} = \frac{\int \vec r\, \rho(\vec r) \, dV}{\int \rho(\vec r)\, dV}

Der Nenner dieser Gleichungen ist die Gesamtmasse m.

Bei diskreten Systemen gilt:

\vec r_s = \frac{1}{M}\sum_i \vec r_i \cdot m_i

wobei

M = ∑mi
i

Bei einem homogenen Körper kann die Dichte ρ herausgekürzt werden, der Massenmittelpunkt fällt dann mit dem Volumenmittelpunkt („geometrischer Schwerpunkt“) zusammen. In vielen Fällen kann die Berechnung vereinfacht werden, wenn man beachtet, dass der Volumenmittelpunkt immer auf den Symmetrieachsen eines Körpers liegt, bei einer Kugel zum Beispiel im Mittelpunkt. Die noch gesuchten Koordinaten ergeben sich dann aus:

x_s = \frac{1}{V}\int x\, dV\, , \quad y_s = \frac{1}{V}\int y\, dV \, , \quad z_s = \frac{1}{V}\int z\, dV

Massenmittelpunkt und Schwerpunkt

Wenn die Schwerebeschleunigung über den Bereich des Körpers konstant ist, ist der Massenmittelpunkt identisch mit dem Schwerpunkt. Ist das nicht der Fall, beschreibt der Schwerpunkt den Punkt, in dem die auf den Körper wirkende Schwerkraft zu wirken scheint. Hingegen ist der Massenmittelpunkt jener Punkt, auf den man die Trägheitskräfte des Körpers reduzieren kann. In anderen Worten, ein starrer Körper, auf den eine Kraft im Massenmittelpunkt ausgeübt wird, erfährt dadurch nur eine beschleunigte Translationsbewegung, jedoch keine Winkelbeschleunigung.


Merksätze:
Im homogenen Schwerfeld sind Schwerpunkt und Massenmittelpunkt identisch.

Für homogene Körper sind Massen- und Volumenmittelpunkt identisch.

Von „http://kefk.org/wiki/Massenmittelpunkt“
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