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Cauchy-Verteilung

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Die Cauchy-Verteilung (nach Augustin Louis Cauchy) ist eine stetige, leptokurtische Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Inhaltsverzeichnis

Definition

Die Cauchy-Verteilung ist eine kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung, die die Wahrscheinlichkeitsdichte

f(x) = \frac{1}{\pi} \cdot \frac{s}{s^2 + (x-t)^2}

mit s > 0 und -\infty<t<\infty besitzt. Die Cauchy-Verteilung ist ebenfalls bekannt als Lorentz-Verteilung oder Lorentz-Kurve (nach Hendrik Antoon Lorentz). In der Physik wird oft die Bezeichnung Breit-Wigner-Verteilung benutzt.

Bild:Cauchy distribution pdf.png

Die Verteilungsfunktion der Cauchy-Verteilung ist

F(x) = P(X < x)= F(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi} \cdot \arctan\left(\frac{x-t}{s}\right).

Mit dem Zentrum t = 0 und dem Breitenparameter s = 1 ergibt sich die Standard-Cauchy-Verteilung oder auch t-Verteilung mit einem Freiheitsgrad

f(x)=\frac{1}{\pi(1+x^2)}.

Eigenschaften

Erwartungswert, Varianz, Standardabweichung

Die Cauchy-Verteilung gilt als Prototyp einer Verteilung, die weder Erwartungswert noch Varianz oder Standardabweichung besitzt, da die entsprechenden Integrale nicht definiert sind.

Median, Modus

Die Cauchy-Verteilung besitzt einen Median \tilde{x}=t und einen Modus.

Maximalwert

Die Cauchy-Verteilung hat ein Maximum Parser-Fehler (Unbekannter Fehler\text): f_\text{max}=\frac{1}{s\pi} 

bei Parser-Fehler (Unbekannter Fehler\text): x_\text{max}=t

.

Reproduktivität

Die Cauchy-Verteilung gehört zu den reproduktiven Wahrscheinlichkeitsverteilungen: der Mittelwert (X_1+X_2+\dots +X_n)/n aus n Standard-Cauchy-verteilten Zufallsvariablen ist selbst Standard-Cauchy-verteilt. Insbesondere gehorcht die Cauchy-Verteilung also nicht dem Gesetz der großen Zahlen, das für alle Verteilungen mit existierendem Erwartungswert (siehe Satz von Etemadi) gilt.

Invarianz gegenüber Faltung

Die Cauchy-Verteilung ist invariant gegenüber Faltung, d.h. die Faltung einer Lorentzkurve der Halbwertsbreite Γa mit einer Lorentzkurve der Halbwertsbreite Γb ergibt wieder eine Lorentzkurve mit der Halbwertsbreite Γc.

Beziehungen zu anderen Verteilungen

Beziehung zur Lévy-Verteilung

Die Cauchy-Verteilung ist eine spezielle α-stabile Lévy-Verteilung mit dem Exponentenparameter α = 1.

Beziehung zur Normalverteilung

Der Quotient aus zwei Standard-normalverteilten Zufallsvariablen ist Standard-Cauchy-verteilt.

Beziehung zur Students-t-Verteilung

Für n = 1 und mit \Gamma(1/2)=\sqrt{\pi} ergibt sich die Cauchy-Verteilung als Spezialfall aus der Students t-Verteilung.

Anwendungsbeispiel

Bei der Cauchy-Verteilung ist die Wahrscheinlichkeit für extreme Ausprägungen sehr groß. Sind die 1% größten Werte einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen X mindestens 2,58, beträgt bei einer Cauchy-verteilten Zufallsvariablen die entsprechende Untergrenze ca. 31. Möchte man die Auswirkung von Ausreißern in Daten auf statistische Verfahren untersuchen, verwendet man häufig Cauchy-verteilte Zufallszahlen in Simulationen.

Zufallszahlen

Zur Erzeugung cauchyverteilter Zufallszahlen bietet sich die Inversionsmethode an.

Die nach dem Simulationslemma zu bildende Pseudoinverse der Verteilungsfunktion F(x) lautet hierbei F − 1(y) = tan(πy). Zu einer Folge von Standardzufallszahlen ui lässt sich daher eine Folge xi: = tan(πui) cauchyverteilter Zufallszahlen berechnen.

Literatur

  • W. Feller, An Introduction to Probability Theory and its Applications

Weblinks

Von „http://www.kefk.org/wiki/Cauchy-Verteilung“
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