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Liste von Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Aus Kefk.

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Es gibt unzählige Möglichkeiten, wie eine Zufallsvariable verteilt sein kann. Hier soll ein Überblick über die bekanntesten Wahrscheinlichkeitsverteilungen gegeben werden.

Inhaltsverzeichnis

Eigenschaften

Verteilungsfunktion

Die Verteilung ist durch die Verteilungsfunktion oder Dichtefunktion vollständig festgelegt.

Bezeichnung Kurzzeichen

Vtlg. von X

Verteilungsfunktion

\begin{cases} F(x) = P(\{X < x\}) & \mbox{ wenn die Verteilung stetig ist } \\ F(x) = P(\{X = x\}) & \mbox{ wenn die Verteilung diskret ist } \end{cases}

Dichtefunktion bzw. Wahrscheinlichkeitsfunktion

\begin{cases} f(i) = P(\{X = i\}) & \mbox{ wenn die Verteilung diskret ist } \\ f(x) = P(\{X \in [x, x+dx[ \; \})/\mathrm{d}x & \mbox{ wenn die Verteilung absolut stetig ist } \end{cases}

Binomialverteilung  Bn,p \sum_{i=0}^{\lceil x-1 \rceil}{n \choose i}p^i (1-p)^{n-i} {n \choose i}p^i (1-p)^{n-i}
Negative Binomialverteilung  NBn,p \sum_{i=n}^{\lceil x-1 \rceil}{i-1 \choose n-1}p^n (1-p)^{i-n} {i-1 \choose n-1}p^n (1-p)^{i-n}
Geometrische Verteilung (Variante B)  Gp \sum_{i=0}^{\lceil x-1 \rceil}p (1-p)^{i} = 1 - (1-p)^{\lceil x \rceil} p\, (1-p)^{i}\,
Hypergeometrische Verteilung  HM,N,n \sum_{i=max(0,n-N)}^{\lceil x-1 \rceil} \frac {{M \choose i}{N \choose n-i}}{{M+N \choose n} } \frac {{M \choose i}{N \choose n-i}}{{M+N \choose n} }
Poissonverteilung  Pα \sum_{i=0}^{\lceil x-1 \rceil} e^{-\alpha} \frac {\alpha^i}{i!} e^{-\alpha} \frac {\alpha^i}{i!}
Diskrete Gleichverteilung  DLn

\begin{cases} \frac {1}{n} & \mbox{ fuer } x = x_i (i = 1,. .., n) \\ 0 & \mbox{ sonst} \end{cases}

Gleichverteilung  La,b

\begin{cases} 0 & \mbox { wenn } x \le a \\ \frac {x-a}{b-a} & \mbox{ wenn } a < x \le b \\ 1 & \mbox{ wenn } x > b \end{cases}

\begin{cases} \frac {1}{b-a} & \mbox{ wenn } a < x \le b \\ 0 & \mbox{ sonst } \end{cases}

Exponentialverteilung  Eα

\begin{cases} 0 & \mbox { wenn } x \le 0 \\ 1-e^{-\alpha x} & \mbox{ wenn } x > 0 \end{cases}

\begin{cases} 0 & \mbox { wenn } x \le 0 \\ \alpha \, e^{-\alpha x} & \mbox { wenn } x > 0 \end{cases}

Erlangverteilung  Eα,n

\begin{cases} 0 & \mbox { wenn } x \le 0 \\ 1-e^{-\alpha x} \lbrack 1 + \frac{(\alpha x)}{1!} + \frac{(\alpha x)^2}{2!} +. .. + \frac{(\alpha x)^{n-1}}{(n-1)!} \rbrack & \mbox{ wenn } x > 0 \end{cases}

\begin{cases} 0 & \mbox { wenn } x \le 0 \\ {\alpha^n \over (n-1)!} x^{n-1} e^{-\alpha x} & \mbox { wenn } x > 0 \end{cases}

Normalverteilung  N_{\mu,\sigma^2} \frac {1}{\sigma \cdot \sqrt{2\pi}} \cdot \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{t-\mu}{\sigma}\right)^2} \mathrm{d}t \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}
Logarithmische Normalverteilung  LN_{\mu,\sigma^2}

\begin{cases} 0 & \mbox { wenn } x \le 0 \\ \frac {1}{\sigma \cdot \sqrt{2\pi}} \cdot \int_{0}^{x} \,\frac{1}{t}\, e^{-\frac{1}{2} \cdot \left(\frac{\operatorname{ln}\,t-\mu}{\sigma}\right)^2} \mathrm{d}t & \mbox { wenn } x > 0 \end{cases}

\begin{cases} 0 & \mbox { wenn } x \le 0 \\ \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,\frac{1}{x}\, e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{\operatorname{ln}\,x-\mu}{\sigma}\right)^2} & \mbox { wenn } x > 0 \end{cases}

Weibull Verteilung  Wμ,σ,λ

\begin{cases} 0 & \mbox { wenn } x \le \mu \\ 1 - e^{- \left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^\lambda} & \mbox { wenn } x > \mu \end{cases}

Chi-Quadrat Verteilung  Ck \frac{1}{2\,\Gamma \left(\frac{k}{2}\right)} \,\cdot\,\int_{0}^{x} \,e^{-\frac{t}{2}}\,\cdot\,{\left(\frac{t}{2}\right)}^{\frac{k}{2}-1} \mathrm{d}t = 1 - \frac{\Gamma \left(\frac{k}{2},\frac{x}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{k}{2}\right)}. \frac{e^{-\frac{x}{2}}\,\cdot\,{\left(\frac{x}{2}\right)}^{\frac{k}{2}-1}}{2\,\Gamma \left(\frac{k}{2}\right)} \quad \mbox { wenn } 0 < x <\infty
Studentverteilung  Tk

\frac{\Gamma(\frac{k+1}{2})}{\Gamma(\frac{k}{2})\,\sqrt{k\,\pi\,}}\,\cdot\,\int_{-\infty}^{x} \,\left(1+\frac{t^2}{k}\right)^{(-\frac{k+1}{2})} \mathrm{d}t

\frac{\Gamma(\frac{k+1}{2})}{\Gamma(\frac{k}{2})\,\sqrt{k\,\pi\,}}\,\cdot\,\left(1+\frac{x^2}{k}\right)^{(-\frac{k+1}{2})}

Fisherverteilung  Fm,n

\begin{cases} 0 & \mbox { wenn } x \le 0 \\ \frac{\Gamma(\frac{m+n}{2})\, \left(\frac{m}{n}\right)^\frac{m}{2}}{\Gamma(\frac{m}{2})\,\Gamma(\frac{n}{2})}\,\cdot\,\int_{0}^{x} \,t^{(\frac{m}{2}-1)}\,\cdot\,\left(1+\frac{m}{n}\,\cdot\,t\right)^{(-\frac{m+n}{2})} \mathrm{d}t & \mbox { wenn } x > 0 \end{cases}

\begin{cases} 0 & \mbox { wenn } x \le 0 \\ \frac{\Gamma(\frac{m+n}{2})\, \left(\frac{m}{n}\right)^\frac{m}{2}}{\Gamma(\frac{m}{2})\,\Gamma(\frac{n}{2})}\,\cdot\,x^{(\frac{m}{2}-1)}\,\cdot\,\left(1+\frac{m}{n}\,\cdot\,x\right)^{(-\frac{m+n}{2})} & \mbox { wenn } x > 0 \end{cases}

Gammaverteilung  Gb,p

\begin{cases} 0 & \mbox { wenn } x \le 0 \\ {b^p\over\Gamma(p)}\,\cdot\,\int_{0}^{x} \,t^{p-1}e^{-bt} \mathrm{d}t & \mbox { wenn } x > 0 \end{cases}

\begin{cases} 0 & \mbox { wenn } x \le 0 \\ {b^p\over\Gamma(p)}x^{p-1}e^{-bx} & \mbox { wenn } x > 0 \end{cases}

Erwartungswert, Varianz

Erwartungswert, Varianz ergeben sich aus der Verteilungsfunktion. Hier eine Übersicht.

Verteilung P(X = k) Erwartungswert Varianz
Bernoulli-Verteilung (Null-Eins-Verteilung) \begin{cases}p & \mathrm{f\ddot{u}r}\ X = 0\\1-p & \mathrm{f\ddot{u}r}\ X=1\end{cases} p p(1 − p)
Binomialverteilung {n \choose k}p^k (1-p)^{n-k} np np(1 − p)
- negative Binomialverteilung (Pascal-Verteilung) {{k-1} \choose {r-1}} p^r(1-p)^{k-r} \frac{r}{p} \frac{r(1-p)}{p^2}
Geometrische Verteilung
- Variante A p(1 − p)k − 1 für k \in {1,2,3,...} \frac{1}{p} \frac{1}{p^{2}} - \frac{1}{p}
- Variante B p(1 − p)kfür k \in \N \frac{1-p}{p} \frac{1}{p^{2}} - \frac{1}{p}
Diskrete Gleichverteilung \begin{cases} \frac {1}{n} & \mathrm{f\ddot{u}r}\ k = k_i (i = 1,. .., n) \\ 0 & \mathrm{sonst}\end{cases} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n k_i \frac {1}{n} \left(\sum_{i=1}^n k_i^2 - \frac {1}{n} \left(\sum_{i=1}^n k_i\right)^2\right)
Hypergeometrische Verteilung Parser-Fehler (Unbekannter Fehler\displaystyle): \frac{\displaystyle{M \choose k}{N-M \choose n-k}}{\displaystyle{N \choose n}} n \frac{M}{N} n \frac{M}{N} \left(1-\frac{M}{N} \right) \frac{N-n}{N-1}
Logarithmische Verteilung \frac{p^{k}}{k}\cdot\frac{1}{-\ln(1-p)} \frac{p}{-(1-p)\ln(1-p)} \frac{p(-\ln(1-p)-p)}{(1-p)^{2}\ln^{2}(1-p)}
Multinomialverteilung (Polynomialverteilung)
Panjer-Verteilung P(X=k-1) \cdot \max \{ 0, a + \frac{b}{k} \}; k \ge 1 \frac{a+b}{1-a} \frac{a+b}{(1-a)^2}
Poisson-Verteilung \frac{\lambda^k}{k!}\; e^{-\lambda} λ λ
- Gemischte Poisson-Verteilung
- Verallgemeinerte Poisson-Verteilung
Zipf-Verteilung (Zeta-Verteilung) \frac{x^{-s}}{\zeta(s)}
Gleichverteilung  La,b \frac{a+b}{2} \frac{(b-a)^2}{12}
Exponentialverteilung  Eα \frac{1}{\alpha} \frac{1}{\alpha^2}
Erlangverteilung  Eα,n \frac{n}{\alpha} \frac{n}{\alpha^2}
Normalverteilung  N_{\mu,\sigma^2} μ σ2
Logarithmische Normalverteilung  LN_{\mu,\sigma^2} exp(μ + σ2 / 2) exp(2μ + σ2) * (exp(σ2) − 1)
Weibull Verteilung  Wμ,σ,λ μ + σ * Γ(1 + 1 / λ) σ2 * [Γ(1 + 2 / λ) − (Γ(1 + 1 / λ))2]
Chi-Quadrat Verteilung  Ck k 2k
Studentverteilung  Tk 0 (für k>1) \frac{k}{k-2} (für k>2)
Fisherverteilung  Fm,n \frac{n}{n-2} (für n>2) \frac{2 n^2 (m+n-2)}{m (n-2)^2 (n-4)} (für n>4)
Gammaverteilung  Gb,p \frac{p}{b} \frac{p}{b^2}

Beziehungen zwischen den Verteilungen

Beschreibung Merkhilfe *)
Das Quadrat einer standardnormalverteilten Zufallsvariable ist Chi-Quadrat-verteilt mit Parameter 1.  N_{0,1}^2 = C_1
Die Summe unabhängiger Chi-Quadrat-verteilter Zufallsvariabler ist wieder Chi-Quadrat-verteilt.  Ck + Cl = Ck + l
Die Summe unabhängiger normalverteilter Zufallsvariabler ist wieder normalverteilt.  N_{\mu_1,\sigma_1^2} + N_{\mu_2,\sigma_2^2} = N_{\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2}
Die Summe unabhängiger poissonverteilter Zufallsvariabler ist wieder poissonverteilt.  Pα + Pβ = Pα + β
Die Summe unabhängiger binomialverteilter Zufallsvariabler mit gleichem Parameter p ist wieder binomialverteilt.  Bm,p + Bn,p = Bm + n,p
Die Summe unabhängiger negativbinomialverteilter Zufallsvariabler mit gleichem Parameter p ist wieder negativbinomialverteilt.  NBm,p + NBn,p = NBm + n,p
Die Summe unabhängiger erlangverteilter Zufallsvariabler mit gleichem Parameter α ist wieder erlangverteilt.  Eα,m + Eα,n = Eα,m + n
Die Summe unabhängiger gammaverteilter Zufallsvariabler mit gleichem Parameter b ist wieder gammaverteilt.  Gb,p1 + Gb,p2 = Gb,(p1 + p2)
Zusammenhang zwischen Erlangverteilung und Exponentialverteilung.  Eα,1 = Eα
Zusammenhang zwischen Erlangverteilung und Chi-Quadrat Verteilung.  E_{\frac{1}{2},n} = C_{2n}
Zusammenhang zwischen Erlangverteilung und Gammaverteilung.

(Für ganzzahligen zweiten Parameter stimmt die Gammaverteilung mit der Erlangverteilung überein.)

 Eα,n = Gα,n
Zusammenhang zwischen Weibull Verteilung und Exponentialverteilung.  W_{0,\sigma,1} = E_\frac{1}{\sigma}
Sind X und Y unabhängige Zufallsvariable, X standardnormalverteilt und Y Ck-verteilt, dann ist \frac{X}{\sqrt{\frac{Y}{k}}} Tk-verteilt.  \frac{N_{0,1}}{\sqrt{\frac{C_k}{k}}} = T_k
Sind X und Y unabhängige Zufallsvariable, X Cm-verteilt und Y Cn-verteilt, dann ist \frac{\frac{X}{m}}{\frac{Y}{n}} Fm,n-verteilt.  \frac{\frac{C_m}{m}}{\frac{C_n}{n}} = F_{m,n}
Der Logarithmus einer logarithmischnormalverteilten Zufallsvariablen ist normalverteilt.  \ln (LN_{\mu,\sigma^2}) = N_{\mu,\sigma^2}
Ist Z negativbinomialverteilt mit Parameter 1 und p, so ist Z-1 geometrisch verteilt mit Parameter p.  NB1,p − 1 = Gp

*) In der Merkhilfe steht zum Beispiel Ck nicht für die Chi-Quadrat Verteilung, sondern für eine Zufallsvariable in Chi-Quadrat Verteilung. Der Unterschied liegt darin, dass etwa die Verteilung der Summe von Zufallsvariablen (sie wird als Faltung der Verteilungen bezeichnet) üblicherweise mit zum Beispiel Ck * Cl (Ck,Cl Verteilungen) angeschrieben wird anstatt wie hier mit Ck + Cl (Ck,Cl Zufallsvariable). Der Vorteil der Schreibweise Ck * Cl (Ck,Cl Verteilungen) liegt darin, dass sie schon andeutet, welche Operation auf die Verteilungsfunktionen anzuwenden ist, um die Verteilung der Summe zu erhalten. Der Vorteil der Schreibweise Ck + Cl (Ck,Cl Zufallsvariable) liegt darin, dass sie angibt, welche Operation ursprünglich auf die Zufallsvariable gewirkt hat.

Das Zeichen „=“ steht für „hat gleiche Verteilung wie“.

Diejenigen Zufallsvariablen, die auf der linken Seite des Gleichheitszeichens stehen, seien stets vollständig unabhängig voneinander.

Aus den oben angeführten Regeln folgt zum Beispiel (in „Merkhilfe“-Notation): N_{0,1}^2 + N_{0,1}^2 = C_1 + C_1 = C_2 = E_{\frac{1}{2},1} = E_{\frac{1}{2}}. Man beachte, dass dabei die erste Zufallsvariable N_{0,1}\, von der zweiten Zufallsvariablen N_{0,1}\, unabhängig sein muss. Wenn man stattdessen beide Male dieselbe Zufallsvariable verwendet, wenn man also 2 \cdot N_{0,1}^2 berechnet, ist das Ergebnis ein anderes!

Weblinks

Interaktive Verteilungsveranschaulichungen

Wikipedia
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