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Faktorisierung von Polynomen

Aus Kefk.

(Weitergeleitet von Linearfaktor)

In der Algebra können analog zur Primfaktorzerlegung von ganzen Zahlen auch Polynome in Faktoren zerlegt werden.

Dabei versucht man, für ein gegebenes Polynom $p$ aus einem Polynomring $R$ eine endliche Menge $\lbrace p_1, ..., p_n \rbrace \subseteq R$ zu finden, sodass $p = \prod_{i=1}^n p_i$ .

In einem faktoriellen Ring existiert dabei ein Primsystem, sodass diese Darstellung bis auf die Reihenfolge und Assoziiertheit eindeutig ist und jedes $p i$ ein Element des Primsystems ist. In Ringen, die nicht faktoriell sind, ist es im Allgemeinen nicht möglich, eine eindeutige Faktorisierung zu finden.

Über einem algebraisch abgeschlossenen Körpern $\mathbb{K}$ , wie etwa den komplexen Zahlen ergibt sich jedes Polynom als Produkt von Linearfaktoren. Man sagt, das Polynom zerfällt in seine Linearfaktoren.

Ist $p$ ein Polynom mit mit $a_k \in \mathbb{K}$ , so gibt es eine Darstellung $p = \sum_{k=0}^n a_k X^k =\prod_{i=1}^n (X - b_i)$

D.h, das Polynom zerfällt in genau $n$ Faktoren der Form $X - b i$ . Die $b i$ sind dabei genau die Nullstellen der zugehörigen Polynomfunktion.

Die algebraisch abgeschlossenen komplexen Zahlen sind eine Körpererweiterung der Dimension 2 über den reellen Zahlen. Daher lassen sich Polynome aus $\mathbb{R}[X]$ (der Polynomring über den reellen Zahlen) als Produkt von quadratischen und linearen Faktoren darstellen.

Beispiele

Das Polynom $x 2 - 1$ hat die Nullstellen $-1,\, 1$ und damit die Faktorisierung
$x^2 - 1 = (x+1)\cdot(x-1)$
Das Polynom $x 2 + 1$ hat die komplexen Nullstellen $-\mathrm{i},\,\mathrm{i}$ und damit die Faktorisierung
$x^2 + 1 = (x+\mathrm{i})\cdot(x-\mathrm{i})$

Algorithmen

Elwyn Ralph Berlekamp veröffentlichte 1967 den Berlekamp-Algorithmus mit dem Polynome über dem Restklassenkörper $\mathbb{F}_p$ faktorisiert werden können.