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Linearer Operator

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Der Begriff Linearer Operator wurde in der Funktionalanalysis (einem Teilgebiet der Mathematik) eingeführt und ist synonym zum Begriff der lineare Abbildung. Eine lineare Abbildung ist eine Abbildung zwischen Vektorräumen über einen gemeinsamen Körper. Werden Vektorräume über den Körper der rellen oder komplexen Zahlen betrachtet und sind diese mit einer Topologie versehen (lokalkonvexe Räume, normierte Räume, Banachräume) spricht man vorzugsweise von linearen Operatoren.

Man unterscheidet zwischen beschränkten und unbeschränkten linearen Operatoren.

Definition

Es seien $X$ und $Y$ reelle (komplexe) Vektorräume. Ein Operator $T$ von $X$ in $Y$ heißt linearer Operator, wenn für alle $x \in X$ und $\lambda \in \mathfrak{R}$ ( $\lambda \in \mathfrak{C}$ ) die folgenden Bedingungen gelten:

$T$ ist homogen (antihomogen): $T (λ x) = λ T (x)$ ( $T (\lambda x) = \overline{\lambda}T(x)$ )

$T$ ist additiv: $T (x + y) = T (x) + T (y)$

Beispiele linearer Operatoren

Es sei $A$ eine reelle $n \times m$ Matrix. Dann ist $A:x \mapsto Ax$ ein linearer Operator von ${\mathfrak{R}}^n$ in ${\mathfrak{R}}^m$ .

Jedes lineare Funktional auf einem Vektorraum ist ein linearer Operator.

Die Menge der linearen Operatoren zwischen zwei fixierten Vektorräumen wird durch die Definition der Addition $(S + T)(x): = S (x) + T (x)$ und skalaren Multiplikation $(λ S)(x): = λ S (x)$ selbst zu einem Vektorraum.

Der Differentialoperator $f(x) \mapsto \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} f(x)$ ist ein linearer Operator.

Der Integraloperator $f(x) \mapsto \int f(x) \mathrm{d}x$ ist ein linearer Operator.

Bedeutung und Anwendungen

Die Bedeutung linearer Operatoren besteht darin, dass sie die lineare Struktur des unterliegenden Raumes respektieren, d.h. sie sind Homöomorphismen auf Vektorräumen.

Anwendungen linearer Operatoren sind:

Die Beschreibung von Koordinatentransformationen im dreidimensionalen Euklidischen Raum (Spiegelung, Drehung, Streckung) und der Lorentztransformation in der vierdimensionalen Raumzeit durch Matrizen.

Die Darstellung von Observablen in der Quantenmechanik und die Beschreibung der Dynamik eines quantenmechanischen Systems durch seinen Hamilton Operator $H$ in der Schrödingergleichung.

Die Entwicklung von Lösungstheorien für Differential- und Integralgleichungen, siehe Sobolew-Raum und Distribution.

In der Vierpoltheorie (Elektrotechnik) werden die Beziehungen zwischen den Eingangsgrößen (Stromstärke und Spannung) und den Ausgangsgrößen (Stromstärke und Spannung) als wechselseitig voneinander linear abhängig betrachtet werden. Die Abhängigkeiten können durch 2x2 Matrizen beschrieben werden.

Literatur

Beschränkter linearer Operator

Betrachten wir zwei normierte Räume $V$ und $W$ und eine lineare Abbildung $A:V\to W$ . Die Operatornorm von A ist definiert durch:

$\|A\| := \sup_{\|x\| \leq 1} \|Ax\|$ .

Ist die Operatornorm endlich, so sprechen wir von einem beschränkten linearen Operator.

Die Menge aller beschränkten linearen Operatoren vom normierten Raum V in den normierten Raum W nennt man $\mathfrak{L}(V,W)$ . Falls V mit W identisch ist, wird auch abkürzend $\mathfrak{L}(V)$ geschrieben. Die beschränkten linearen Operatoren lassen sich wie folgt charakterisieren:

Es sei T ein beschränkter linearer Operator aus $\mathfrak{L}(V,W)$ . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

T ist beschränkt.
T ist stetig in jedem Punkt von V.
T ist stetig im Nullpunkt von V.

Beispiele beschränkter linearer Operatoren

$I_V \in \mathfrak{L}(V)$ mit $\|I_V\| = 1$ , wobei $I V$ der Identische Operator auf $V$ ist.

$P \in \mathfrak{L}(H)$ mit $\|P\| = 1$ , wobei $P$ eine orthogonale Projektion auf dem Hilbertraum $H$ ist.

$(n_k) \in \mathfrak{L}(l_p)$ mit $\|(n_k)\| = \max_k |n_k|$ , wobei die Folge $(n k)$ beschränkt ist und als Diagonaloperator auf dem Folgenraum $l p$ mit $1 \leq p \leq \infty$ interpretiert wird.

Der Shiftoperator ist beschränkt $S \in \mathfrak{L}(l_p)$ mit $\|S\| = 1$ , wobei $S ((x_1, x_2, x_3, \dots )) := (0, x_1, x_2, x_3, \dots )$ auf dem Folgenraum $l p$ mit $1 \leq p \leq \infty$ definiert ist.

Es sei $K$ eine kompakte Menge und $\mathfrak{C}(K)$ der Banachraum der stetigen Funktionen auf $K$ mit der Supremum-Norm. Weiter sei $f \in \mathfrak{C}(K)$ und der lineare Operator $T_f : \mathfrak{C}(K) \rightarrow \mathfrak{C}(K)$ ist definiert durch $T f (g)(k): = (f g)(k)$ für $k \in K$ . Dann ist $T_f \in \mathfrak{L} ( \mathfrak{C}(K) )$ und $\|T_f\| = \|f\|_{\infty}$ .

Es sei $\lbrack X, \mathfrak{B}, \mu \rbrack$ ein Maßraum und $L_p = L_p>(X, \mathfrak{B}, \mu)$ der Banachraum der p-integrablen meßbaren Funktionen, L^p-Raum oder Lebesgue-Raum, (Äquivalensklassen von Funktioen) auf $X$ mit der p-Norm für $1 \leq p \leq \infty$ . Weiter sei $f \in L_{\infty}$ und der lineare Operator $T_f : L_p \rightarrow L_p$ ist definiert durch $T f (g)(x): = (f g)(x)$ für $x \in X$ . Dann ist $T_f \in \mathfrak{L} (L_p)$ und $\|T_f\| = \|f\|_{\infty}$ .

Anwendungen

Spektraltheorie

Functional Calculus, d.h. für eine reelle bzw. Komplexwertige meßbare Funktion f und einem beschränkten linearen Operator T kann f(T) definiert werden.

Literatur

Unbeschränkter linearer Operator

Der Definitionsbereich eines unbeschränkten linearen Operators ist im allgemeinen ein linearer Unterraum eines topologischen Vektorraums und der Operator wird in diesem Fall als eine partielle lineare Abbildung aufgefasst. Der Definitionsbereich eines Operators wird als Domäne bezeichnet.

Ein Operator heißt dicht definiert, wenn seine Domäne eine dichte Teilmenge des Ausgangsraumes ist. Das Interesse an unbeschränkten Operatoren ist durch die Untersuchung von Differentialoperatoren und deren Eigenwertspektrum und Observablenalgebren begründet.

Eine große Klasse unbeschränkter linearer Operatoren bilden die abgeschlossener Operator. Das sind Operatoren $A: V \rightarrow W$ deren Graph $\Gamma (A) := \{ (\phi , A \phi) : \phi \in D \}$ in der Produkttopologie von $V \times W$ abgeschlossen ist. Für abgeschlossene Operatoren kann z. B. das Spektrum definiert werden.

Beispiel

Betrachte den Differentialoperator $A f := f'\,$ auf dem Banachraum $C [a, b]$ der stetigen Funktion auf dem Interval $[a, b]$ . Wählt man als Definitionsbereich $\mathcal{D}(A)$ die einmal stetig differenzierbaren Funktionen $\mathcal{D}(A):=C^{1}[a, b]$ , dann ist A ein abgeschlossener Operator, der nicht beschränkt ist.

Anwendungen

Differential- und Multiplikationsoperatoren sind i. a. unbeschränkt.

Die Darstellung von Observablen der Quantenmechanik erfordert unbeschränkt lineare Operatoren, da die den Observablen zugeordneten Operatoren i. a. unbeschränkt sind.

Literatur

Siehe auch

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Kategorien: Funktionalanalysis | Wikipedia

Linearer Operator

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Inhaltsverzeichnis

Definition

Beispiele linearer Operatoren

Bedeutung und Anwendungen

Literatur

Beschränkter linearer Operator

Beispiele beschränkter linearer Operatoren

Anwendungen

Literatur

Unbeschränkter linearer Operator

Beispiel

Anwendungen

Literatur

Siehe auch

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