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Lineare Funktion

Aus Kefk.

Im mathematischen Sprachgebrauch werden Funktion und Abbildung heute weitgehend synonym verwendet. Traditionell findet der Begriff der Abbildung sich eher im Bereich der Linearen Algebra, während in der Analysis der Begriff der Funktion verbreiteter ist.

Der Begriff lineare Funktion wird nicht einheitlich gebraucht. Zum einen bedeutet lineare Funktion dasselbe wie eine lineare Abbildung. Lineare Funktionen in diesem Sinne findet man z.B. in der Differentialgeometrie, wobei es sich um lineare Abbildungen von einem (Tangential-)Vektorraum in die reellen Zahlen handelt.

Andererseits wird mit dem Begriff lineare Funktion oft (besonders in der Schule) eine Abbildung der Form

$f:\quad\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\quad\mbox{mit}\quad x\mapsto f(x)=m\;x+n \; ; \quad m,n \in \mathbb{R}$ ,

also ein Polynom erster Ordnung, bezeichnet. Eine solche Funktion wird auch allgemeine lineare Funktion oder linear-inhomogene Funktion genannt. Im mathematisch strengen Sinn handelt es sich dabei jedoch um eine affine Abbildung. Für den Spezialfall $n = 0$ wird daraus eine lineare Funktion im eigentlichen Sinne, auch als homogene lineare Funktion oder Proportionalität bezeichnet.

Lineare Funktionen sind die einfachsten Funktionen in der Mathematik. Sie sind stetig und differenzierbar. Viele Probleme lassen sich für lineare Funktionen leicht lösen; daher versucht man oft, komplizierte Problemstellungen durch lineare Zusammenhänge zu approximieren.

Inhaltsverzeichnis

1 Graph
2 Bestimmung des Funktionsterms aus zwei Punkten
3 Zusammenfassung
4 Ableitung und Stammfunktion
5 Weblinks

Graph

Der Graph einer linearen Funktion ist immer eine Gerade (umgangssprachlich eine Linie). In kartesischen Koordinaten $(x, y)$ erfüllen solche Geraden also die Gleichung

$y = m\;x + b$ , (manchmal auch als "f(x)=ax+b", "f(x)=mx+c", "f(x)=mx+n" oder "f(x)=mx+t" oder sogar "y=ax+b" zu finden. In Österreich wird häufig "y=kx+d" verwendet.)

wobei x (die Abszisse) unabhängige und y (die Ordinate) abhängige Variablen sind. Diese Form bezeichnet man auch als die Normalform einer linearen Funktion. Ihre Komponenten lassen sich wie folgt interpretieren:

Die Zahl m gibt den linearen Faktor oder die Steigung der Geraden an.
Die Zahl b ist die Inhomogenität, der Ordinatenabschnitt, die Verschiebungskonstante oder der y-Achsenabschnitt.

Bild:Lineare Funktion.PNG

Übrigens kann der Graph einer linearen Funktion niemals parallel zur y-Achse verlaufen, da sonst einem x-Wert mehrere y-Werte zugeordnet wären. Dies würde der Definition einer Funktion als eindeutige Zuordnung widersprechen. In einem solchen Fall wäre die Steigung mx = 1/0, ein in den reellen Zahlen undefinierbarer Term.

Bestimmung des Funktionsterms aus zwei Punkten

Es wird vorausgesetzt, dass die Punkte $(x 1 | y 1)$ und $(x 2 | y 2)$ auf dem Graphen der linearen Funktion $f$ liegen und voneinander verschieden sind.

Die Steigung $m$ lässt sich errechnen aus

$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$ .

Der y-Achsenabschnitt $b$ ergibt sich aus

$b = y_1 - m \cdot x_1$ .

Der gesuchte Funktionsterm $f (x)$ ist also gegeben durch

$f(x) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot x + \left(y_1 - \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot x_1\right)$

oder einfacher durch

$f(x) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \cdot (x - x_1) + y_1$ .

Zusammenfassung

Funktionsgleichung

Eine Funktion $f\,$ mit $f(x)=a_1x+a_0\,$ heißt ganzrationale Funktion 1. Grades oder lineare Funktion.

Der Funktiongraph stellt eine Gerade dar.

Achsenschnittpunkte

Schnittpunkt mit der y - Achse: $P_y(0|y_s)\Rightarrow y_s=f(0)\,$

Schnittpunkt mit der x - Achse: $P_x(x_s|0)\Rightarrow f(x_s)=0\,$

Hintergrundinformation

Steigung

Bild:Zlinfkt 01.gif

Die Steigung des Graphen einer linearen Funktion mit der Funktionsgleichung $f(x)\,$ mit $f(x)=a_1x+a_0\,$ lässt sich am Koeffizienten $a_1\,$ ablesen.

Berechnet wird sie mit:

$a_1=\frac{f(x_2)-f(x_1)} {x_2-x_1}=\frac{y_2-y_1} {x_2-x_1}=\frac{\Delta y} {\Delta x}=\tan\alpha\,$ In Kurzform: $a_1=\frac{y_2-y_1} {x_2-x_1}\,$

Hintergrundinformation

Funktionsgleichung aufstellen

Die Steigung $a_1=a\,$ und ein Punkt $P_1(x_1|y_1)\,$ der auf der Geraden liegt seien bekannt.

Ansatz: $f(x)=ax+a_0\,$

$P_1(x_1|y_1):\Rightarrow f(x_1)=y_1\Leftrightarrow ax_1+a_0=y_1 \Leftrightarrow a_0=y_1-ax_1\,$

Die Koordinaten zweier Punkte $P_1(x_1|y_1)\,$ und $P_2(x_2|y_2)\,$ die auf der Geraden liegen, seien bekannt.

Zuerst wird der Steigungsfaktor berechnet: $a_1=\frac{y_2-y_1} {x_2-x_1}\Rightarrow f(x)=a_1x+a_0\,$

$P_1(x_1|y_1):\Rightarrow f(x_1)=y_1\Leftrightarrow ax_1+a_0=y_1 \Leftrightarrow a_0=y_1-ax_1\,$

oder

$P_2(x_2|y_2):\Rightarrow f(x_2)=y_2\Leftrightarrow ax_2+a_0=y_2 \Leftrightarrow a_0=y_2-ax_2\,$

Schnittpunkt zweier Geraden

Ansatz: $f(x)=g(x)\Leftrightarrow f(x)-g(x)=0 \Rightarrow x_s\,$ x - Wert vom Schnittpunkt der beiden Geraden.

$y_s=f(x_s)=g(x_s) \Rightarrow S(x_s|y_s)\,$ als Schnittpunkt der beiden Geraden.

Hintergrundinformation

Orthogonale Geraden

Für die Steigung zweier senkrecht aufeinanderstehender Geraden

g 1

und

g 2

gilt:

$a_1 \cdot a_2=-1\,$ bzw. $a_1=-\frac{1} {a_2}\,$ bzw. $a_2=-\frac{1} {a_1}\,$

Hintergrundinformation

Beispiel

Zwei verschiedene Telefongesellschaften (z.B. Arcor ((A)) und Vodafone ((B)) bieten für das gleiche Handy (z.B. Nokia 3210) verschiedene Tarife an. Gesellschaft A bietet den folgenden Vertrag: 20 €uro monatliche Grundgebühr und jede angefangene Minute 0,07 €uro an Telefonie. Gesellschaft B jedoch: 10 €uro Grundgebühr und dafür aber 0,10 €uro pro angefangener Minute.

Jetzt ist es klug, jedes Angebot in eine lineare Gleichung einzubringen: für A: $y = 0,07 x + 20$ und für B: $y = 0,10 x + 10$

x sind die jeweiligen abtelefonierten Minuten und y ist der zu zahlende Rechnungsbetrag am Ende eines Monats. Anhand der Gleichungen würden erfahrene Menschen sofort sehen, welche ab wann günstiger ist. Doch am klügsten wäre es jetzt, die Gleichungen gleichzusetzen.

Wir nennen die Gleichung von A f(x) und die Gleichung von B g(x). Daraus folgt, dass $f (x) = g (x$ ) ist und so können wir die Gleichungen gleichsetzen und erhalten das Folgende:

$0,07 x + 20 = 0,10 x + 10$ $\Leftrightarrow$ $0,07 x + 10 = 0,10 x$ $\Leftrightarrow$ $10 = 0,03 x$ $\Leftrightarrow$ $x = 333,33$ [sprich: 333 und ein Drittel]

Anhand dieses Ergebnisses können wir y ausrechnen und nehmen dazu eine beliebige Gleichung, hier g(x):

$y = 0,10 x + 10$ $\Leftrightarrow$ $y= 0,10 \cdot 333,33 + 10$ $\Leftrightarrow$ $y = 33,333 + 10$ $\Leftrightarrow$ $y = 43,333$ [sprich: 43 und ein Drittel]

In dem wir nun x und y ausgerechnet haben, wissen wir, wo sich diese zwei Geraden schneiden, nämlich im Schnittpunkt S (333,33|43,333). Dies ist aber nur hilfreich, wenn wir diese Geraden zeichnen könnten. Für den nicht-zeichnerischen Gebrauch sehen wir uns einfach die x- und y-Werte an:

Wir wissen nun, dass uns bei beiden Anbietern 333,33 Minuten den gleichen Betrag von 43,33 €uro kosten würden. Die eigentliche Frage, die sich uns stellt, ist: Wie sieht es mit Minutenzahlen unter und über 333,33 aus?

1. Fall: Bei unter 333,33 Minuten - wo ist es günstiger und wo teurer? Bei Anbieter A für 300 Minuten: $y = 0,07 \cdot 300 + 20$ und ausgerechnet: $y = 41$ [€uro]

und bei Anbieter B für 300 Minuten: $y = 0,10 \cdot 300 + 10$ und ausgerechnet: $y = 40$ [€uro]

Daraus ergibt sich: Bei einer Minutenanzahl unter 333,33 Minuten, die bei beiden gleich kostet, lohnt es sich mehr beim Anbieter B.

2. Fall: Bei über 333,33 Minuten - wo ist es günstiger und wo teurer? Bei Anbieter A für 340 Minuten: $y = 0,07 \cdot 340 + 20$ und somit ist $y = 43,80$ [€uro]

und bei Anbieter B für 340 Minuten: $y = 0,10 \cdot 340 + 10$ und somit ist $y = 44$ [€uro]

Daraus ergibt sich: Bei einer Minutenanzahl von über 333,33 Minuten, die bei beiden gleich kostet, lohnt es sich mehr beim Anbieter A.

Dies ist nur ein winziges Beispiel aus dem Alltag, in dem lineare Funktionen hilfreich sein können.

Ableitung und Stammfunktion

Die Ableitung von $f\left(x\right)=mx+n$ ist $f'\left(x\right)=m$ , also immer eine Konstante (Eine lineare Funktion lässt sich auch als Funktion mit konstanter Ableitung definieren), da die Ableitung die Steigung der Tangente im Punkt $P(x|f\left(x\right))$ angibt.

Die Stammfunktion von $f\,$ ist $F\left(x\right)=\frac{m}{2}x^2+nx$ . Dies lässt sich folgendermaßen zeigen:

$F'\left(x\right)=f\left(x\right)$

$\left(\frac{m}{2}x^2+nx\right)'=mx+n$

$\left(\frac{m}{2}x^2\right)'+\left(nx\right)'=mx+n$

$\frac{m}{2}\left(x^2\right)'+n\left(x\right)'=mx+n$

$\frac{m}{2}2x+n=mx+n$

$m x + n = m x + n$

Weblinks

Geraden erkennen Eine Gerade wird im Koordinatensystem abgebildet. Die Funktionsgleichung ist zu bestimmen (interaktiv).
Gerade durch zwei Punkte Nach Eingabe der Koordinaten zweier Punkte, wird die Gerade abgebildet und die Funktionsgleichung berechnet (interaktiv).
Geradenschnittpunkt Der Schnittpunkt zweier Geraden wird berechnet (interaktiv).In der Schweiz wird die Formel y=wx+v genutzt

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Von „http://www.kefk.org/wiki/Lineare_Funktion“

Kategorien: Analysis | Wikipedia

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Bestimmung des Funktionsterms aus zwei Punkten

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Achsenschnittpunkte

Steigung

Funktionsgleichung aufstellen

Schnittpunkt zweier Geraden

Orthogonale Geraden

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Ableitung und Stammfunktion

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