Lineare Unabhängigkeit

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In der linearen Algebra wird eine Menge (genauer: Familie) von Vektoren eines Vektorraums linear unabhängig genannt, wenn sich der Nullvektor nur durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt, in der alle Koeffizienten der Kombination auf den Wert Null gesetzt werden. Man kann zeigen, dass diese Bedingung dazu äquivalent ist, dass sich keiner der Vektoren als Linearkombination der anderen darstellen lässt.

Zum Beispiel sind im dreidimensionalen Euklidischen Raum $\mathbb{R}^3$ die Vektoren $(1,0,0)$ , $(0,1,0)$ und $(0,0,1)$ linear unabhängig. Die Vektoren $(2, - 1,1)$ , $(1,0,1)$ und $(3, - 1,2)$ sind hingegen nicht linear unabhängig, denn der dritte Vektor lässt sich aus der Summe der beiden ersten zusammensetzen. Sind Vektoren nicht linear unabhängig, dann werden sie auch linear abhängig genannt.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
- 1.1 Bemerkung
2 Andere Charakterisierungen und einfache Eigenschaften
3 Bedeutung
- 3.1 Lineare Gleichungssysteme
- 3.2 Basen
4 Beispiele
5 Verallgemeinerung

Definition

Es sei $V$ ein Vektorraum über dem Körper $K$ und $I$ eine Indexmenge. Eine durch $I$ indizierte Familie $(\mathbf v_i)_{i\in I}$ heißt linear unabhängig, wenn jede hierin enthaltene endliche Teilfamilie linear unabhängig ist.

Eine endliche Familie $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,\dots, \mathbf{v}_n$ von Vektoren aus $V$ heißt linear unabhängig, wenn die einzig mögliche Darstellung des Nullvektors als Linearkombination

$a_1 \cdot \mathbf{v}_1 + a_2 \cdot \mathbf{v}_2 +\ ...\ + a_n \cdot \mathbf{v}_n = \mathbf{0}$

mit Koeffizienten $a_1, a_2,\dots,a_n$ aus dem Grundkörper $K$ diejenige ist, bei der alle Koeffizienten $a i$ gleich Null sind.

Lässt sich dagegen der Nullvektor auch nichttrivial (mit Koeffizienten ungleich Null) erzeugen, dann sind die Vektoren voneinander linear abhängig.

Die Familie $(\mathbf v_i)_{i\in I}$ ist also linear abhängig genau dann, wenn es Koeffizienten $(a_i)_{i\in I}$ gibt, von denen fast alle, aber nicht alle gleich 0 sind, so dass

$\sum_{i\in I}a_i\cdot\mathbf v_i=\mathbf 0.$

Achtung: Der Nullvektor $\mathbf{0}$ ist ein Element des Vektorraumes V, während 0 ein Element aus dem Körper K ist!

Bemerkung

Falls zusätzlich zu den Anforderungen für die lineare Unabhängigkeit für die Elemente $a_1, a_2,\dots,a_n$ von $K$ die Bedingung $a_1 \geq 0, a_2 \geq 0,\dots,a_n \geq 0$ erfüllt ist, dann spricht man von positiv-linearer Unabhängigkeit.

Andere Charakterisierungen und einfache Eigenschaften

Die Vektoren $\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_n$ sind genau dann linear unabhängig, wenn sich keiner von ihnen als Linearkombination der anderen darstellen lässt.
Diese Aussage gilt nicht im allgemeineren Kontext von Moduln über Ringen.

Eine Variante dieser Aussage ist das Abhängigkeitslemma: Sind $\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_n$ linear unabhängig und $\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_n,\mathbf w$ linear abhängig, so lässt sich $\mathbf w$ als Linearkombination von $\mathbf v_1,\ldots,\mathbf v_n$ schreiben.

Ist eine Familie von Vektoren linear unabhängig, so ist jede Teilfamilie dieser Familie ebenfalls linear unabhängig. Ist eine Familie hingegen linear abhängig, so ist jede Familie, die diese abhängige Familie beinhaltet, ebenso linear abhängig.

Elementare Umformungen der Vektoren verändern die lineare Abhängigikeit oder die lineare Unabhängigkeit nicht.

Bedeutung

Lineare Gleichungssysteme

In einer Linearkombination sind die Koeffizienten eindeutig bestimmt, wenn die Vektoren $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2,\ ..., \mathbf{v}_n$ linear unabhängig sind. Dies kann zur Feststellung der Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen benutzt werden. Das lineare Gleichungsystem ist genau dann eindeutig lösbar, wenn die einzelnen Spaltenvektoren der Koeffizientenmatrix voneinander linear unabhängig sind.

Die Überprüfung, ob zum Beispiel drei Vektoren aus $\mathbb{R}^3$ linear unabhängig sind, entspricht dem Lösen eines linearen Gleichungssystems. Dazu wird aus

$\mathbf{0} = a_1 \cdot \mathbf{u} + a_2 \cdot \mathbf{v} + a_3 \cdot \mathbf{w}$

ein homogenes lineares Gleichungssystem gebildet:

$0 = a_1 \cdot u_x + a_2 \cdot v_x + a_3 \cdot w_x$

$0 = a_1 \cdot u_y + a_2 \cdot v_y + a_3 \cdot w_y$

$0 = a_1 \cdot u_z + a_2 \cdot v_z + a_3 \cdot w_z$

und mittels Gaußschen Eliminationsverfahren nach $a 1, a 2, a 3$ gelöst. Gibt es nur eine einzige Lösung, nämlich dass $a 1 = a 2 = a 3 = 0$ , dann sind die Vektoren linear unabhängig. Existieren weitere Lösungen, sind sie linear voneinander abhängig.

Basen

Wichtig ist das Konzept der linearen Unabhängigkeit in Bezug auf die Basis eines Vektorraums. Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. Basen erlauben es, in beliebigen Vektorräumen mit Koordinaten zu rechnen.

Beispiele

Beispiel 1: einzelner Vektor

Der Vektor $\mathbf{v}$ sei ein Element des Vektorraums $V$ über $K$ . Dann ist der einzelne Vektor $\mathbf{v}$ für sich genau dann linear unabhängig, wenn gilt, dass $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$ (d.h. ungleich dem Nullvektor ist).

Denn aus der Definition des Vektorraums folgt, dass wenn

$a \cdot \mathbf{v} = 0$ mit $a \isin K$ , $\mathbf{v} \isin V$

nur $a = 0$ oder $\mathbf{v}=\mathbf{0}$ sein kann!

Beispiel 2: zwei bestimmte Vektoren in $\mathbb{R}^2$

Die Vektoren $\mathbf{u}= \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ und $\mathbf{v}=\begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix}$ sind in $\mathbb{R}^2$ linear unabhängig.

Beweis: für $a,b \isin \mathbb{R}$ gelte

$a \cdot \mathbf{u} + b \cdot \mathbf{v} = \mathbf{0},$

d.h.

$a \cdot \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} + b \cdot \begin{pmatrix}-3\\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$ </br>

Dann gilt

$\begin{pmatrix}a-3b\\a+2b\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix},$

also

$a-3b=0 \ \wedge \ a+2b=0.$

Dieses Gleichungssystem ist nur für die Lösung $a = 0$ , $b = 0$ (die sogenannte triviale Lösung) erfüllt; d.h. $u$ und $v$ sind linear unabhängig.

Beispiel 3: „natürliche“ Basis in $\mathbb{R}^n$

Im Vektorraum $V= \mathbb{R}^n$ betrachte folgende Elemente (die natürliche oder Standard-Basis von $V$ ):

$\mathbf{e}_1=(1,0,0,\ ...,0)$

$\mathbf{e}_2=(0,1,0,\ ...,0)$

...

$\mathbf{e}_n=(0,0,0,\ ...,1)$

Dann ist die Vektorfamilie $(\mathbf{e}_i)_{i \isin I}$ mit $I=\{1,2,\ ...,n\}$ linear unabhängig.

Beweis: Für $a_1, a_2,\ ...,a_n \isin \mathbb{R}$ gelte

$a_1 \cdot \mathbf{e}_1 + a_2 \cdot \mathbf{e}_2 +\ ...\ + a_n \cdot \mathbf{e}_n = \mathbf{0}.$

Dann gilt aber auch

$a_1 \cdot \mathbf{e}_1 + a_2 \cdot \mathbf{e}_2 +\ ...\ + a_n \cdot \mathbf{e}_n = (a_1,a_2,\ ...,a_n) = \mathbf{0},$

und daraus folgt, dass $a i = 0$ für alle $i \isin \{1,2, ...,n\}$ .

Beispiel 4: Funktionen als Vektoren

(benötigt Kenntnisse über die Differentialrechnung)

Sei $V$ der Vektorraum aller Funktionen $f\colon\mathbb R\to\mathbb R$ . Die beiden Funktionen $e t$ und $e 2 t$ in $V$ sind linear unabhängig.

Beweis: für $a,b \isin \mathbb{R}$ gelte

$a \cdot \mathrm{e}^t + b \cdot \mathrm{e}^{2t} = 0$ (1)

als Gleichung zwischen Funktionen, d.h. für beliebiges $t\in\mathbb R$ . Durch die Ableitung von (1) nach $t$ erhält man eine neue Gleichung

$a \cdot \mathrm{e}^t + 2b \cdot \mathrm{e}^{2t} = 0$ (2)

Wird (1) von (2) subtrahiert, ergibt sich $b \cdot \mathrm{e}^{2t} =0$ und daraus folgt durch Einsetzen von $t = 0$ , dass $b = 0$ sein muss.

Eingesetzt in die erste Gleichung ergibt sich

$a \cdot \mathrm{e}^t + 0 = 0$

und daraus folgt wieder, dass (für $t = 0$ ) $a = 0$ sein muss.

Folglich sind die beiden Funktinen $e t$ und $e 2 t$ in der Tat linear unabhängig.

Siehe auch: Wronski-Determinante

Beispiel 5: Reihen

Sei $V$ der Vektorraum aller reellwertigen stetigen Funktionen $f\colon (0,1)\to\mathbb R$ auf dem offenen Einheitsintervall. Dann gilt zwar

$\frac 1{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n,$

aber dennoch sind Parser-Fehler (Unbekannte Funktion \tfrac): \tfrac 1{1-x}, 1, x, x^2,\ldots

linear unabhängig.

Linearkombinationen aus Potenzen von $x$ sind nämlich nur Polynome und keine allgemeinen Potenzreihen, insbesondere also in der Nähe von 1 beschränkt, so dass sich Parser-Fehler (Unbekannte Funktion \tfrac): \tfrac1{1-x}

nicht als Linearkombination von Potenzen darstellen lässt.

Beispiel 6: Zeilen und Spalten einer Matrix

Interessant ist auch die Frage, ob die Zeilen einer Matrix linear unabhängig sind oder nicht. Dabei werden die Zeilen als Vektoren betrachtet. Falls die Zeilen einer quadratischen Matrix linear unabhängig sind, so nennt man die Matrix regulär, andernfalls singulär. Die Spalten einer quadratischen Matrix sind genau dann linear unabhängig, wenn die Zeilen linear unabhängig sind. Beispiel einer Folge von regulären Matrizen: Hilbert-Matrix.

Verallgemeinerung

Der Begriff der linearen Unabhängigkeit lässt sich weiter zu einer Betrachtung von unabhängigen Mengen verallgemeinern, siehe dazu Matroid.

Lineare Unabhängigkeit

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Bemerkung

Andere Charakterisierungen und einfache Eigenschaften

Bedeutung

Lineare Gleichungssysteme

Basen

Beispiele

Beispiel 1: einzelner Vektor

Beispiel 2: zwei bestimmte Vektoren in $\mathbb{R}^2$

Beispiel 3: „natürliche“ Basis in $\mathbb{R}^n$

Beispiel 4: Funktionen als Vektoren

Beispiel 5: Reihen

Beispiel 6: Zeilen und Spalten einer Matrix

Verallgemeinerung

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